第六章数学问题 -------- 6.5 欧几里得算法及其扩展

先来看看欧几里得算法：

public class Gcd {
    /**
     * 欧几里德算法,即辗转相除法 最大公约数
     */
    public static long gcd(long m, long n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }

    /**
     * 最小公倍数lowest common multiple (LCM)
     * 最小公倍数 = a * b / a和b的最大公约数
     */
    private static long lcm(long a, long b) {
        return a * b / gcd(a, b);
    }
}

　　接着再来看裴蜀(贝祖)等式：对于任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式)：ax+by = m 有整数解时当且仅当m是d的倍数。x、y可用扩展欧几里得算法求得。特别地，方程ax+by=1 有整数解当且仅当整数a和b互质。

　　那什么是扩展欧几里得算法呢？

　　现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd(a,b) 后面用gcd表示，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 。这是一个不定方程。那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？

　　首先，将a=gcd,b=0代入原方程，得到gcd*x+0*y=gcd。那么，这时候，只要x = 1 ，y 是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0，但是 x 一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd。当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

　　假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ，那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

　　首先a可以表示成 a = b*t + k，而 t = a/b（这里的 “/” 指的是整除），k = a%b ，所以可以得到a = b*(a/b) +k --> k=a-(a/b)*b --> a%b = a - (a/b)*b，代入 b*x1 + (a%b)*y1 = gcd。

　　那么，我们可以进一步得到：gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
　　　　　　　　　　　　　　　　 = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
　　　　　　　　　　　　　　　　= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

　对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？

　这里： x = y1

　　　y = x1 – a/b*y1

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　　现在我们找到一组特殊的解 x0 和 y0，那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

　　　　 x = x0 + (b/gcd)*t （ t 取任意整数）

　　y = y0 – (a/gcd)*t

　　如果我们想要得到 x 大于 0 的第一个解的话，那么表达式就是：

　　　　b /= d

　　　　x = ( x0%b + b) % b

　以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

public class ExtGcd {
    static long x;
    static long y;

    public static long gcd(long m, long n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }
    /**
     * 扩展欧几里得
     * 调用完成后 静态变量xy是ax+by=m的解
     * 返回的还是最大公约数
     */
    public static long ext_gcd(long a,long b){
        if (b==0) { // 求出了最大公约数 为a
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        long res = ext_gcd(b, a % b);
        //x,y已经被下一层递归更新了
        long x1 = x;//备份x
        x = y;//更新x
        y = x1 - a / b * y;//更新y
        return res;
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(ext_gcd(2, 7));  // 1
        System.out.println(x+" "+y);        // -3 1
    }
}

　　最后再来看一下这个线性方程（或者叫二元一次不定方程）：ax+by = m 。有整数解时当且仅当m是gcd的倍数。

public static long linearEquation(long a, long b, long m) throws Exception {
    long d = ext_gcd(a, b);
    //m不是gcd(a,b)的倍数,这个方程无解
    if (m % d != 0) {
      throw new Exception("无解");
    }
    long n = m / d;//约一下,考虑m是d的倍数
    x *= n;
    y *= n;
    return d;
  }

　　扩展欧几里德算法的应用主要有以下两个方面：

　　　（1）求解不定方程；

　　　（2）求解模线性方程（线性同余方程）与逆元；

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