算法导论 — 2.2 算法分析

练习

2.2-1 用 $Θ$记号表示函数 $n^3/1000 – 100n^2 – 100n + 3$。
　　解
　　 $Θ(n^3)$。
　　
2.2-2 考虑排序存储在数组 $A$中的 $n$个数：首先找出 $A$中的最小元素并将其与 $A[1]$中的元素进行交换。接着，找出 $A$中的次最小元素并将其与 $A[2]$中的元素进行交换。对 $A$中前 $n-1$个元素按该方式继续。该算法称为选择算法，写出其伪代码。该算法维持的循环不变式是什么？为什么它只需要对前 $n-1$个元素，而不是对所有 $n$个元素运行？用 $Θ$记号给出选择排序的最好情况与最坏情况运行时间。
　　解
　　
　　无论对于什么情况的输入，内层for循环的次数都是一样的。所以该算法没有最好情况与最坏情况之分，对所有情况的运行时间都为 $Θ(n^2)$。
　　
2.2-3 再次考虑线性查找问题（参见练习2.1-3）。假定要查找的元素等可能地为数组中的任意元素，平均需要检查输入序列的多少元素？最坏情况又如何呢？用 $Θ$记号给出线性查找的平均情况和最坏情况运行时间。证明你的答案。
　　解
　　线性查找问题，最坏情况是要查找的元素位于数组的最后一个位置，或要查找的元素在数组中不存在，这种情况下算法需要比较数组中的每一个元素，因此最坏情况运行时间为 $Θ(n)$。
　　平均来看，算法需要比较数组中一半的元素，因此平均情况运行时间也为 $Θ(n)$。
　　
2.2-4 应如何修改一个算法，才能使之具有良好的最好情况运行时间？
　　略
　　
　　本节代码链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter02/Section_2.2