算法导论排序算法

堆排序

二叉堆是一个数组，可以被看作一个近似的完全二叉树。二叉堆可以分为两种形式：最大堆和最小堆。
在最大堆中，最大堆性质是指除了根以外的所有结点i都满足：$A[PARENT[i]]>=A[i]$
也就是说，某节点的值之多与其父结点一样大，因此，堆中的最大元素存放在根结点，并且，在任意子树中，该子树所包含的所有结点的数值都不大于该子树根结点的值。

最小堆性质是指除了根以外的所有结点i都满足：$A[PARENT[i]]<=A[i]$
堆中最小元素存放在根结点中。

堆的高度是$lg n$，n是结点数量

"""维护堆的性质：
输入一个数组A和下标i，调用MaxHeapify时，假定根结点为左子树LEFT(i)和右子树RIGHT(i)的二叉树都是最大堆，
但此时A[i]可能会小于其孩子，这就违背了最大堆的性质。
调用MaxHeapify通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，从而使得以下标i为根结点的子树重新遵循最大堆的性质。
时间复杂度：$T(n) leq T(2n/3)+O(1),T(n)=O(lg n),h=lg n$
"""
def (A, i, size):
    left=i<<1
    right=(i<<1)+1
    largest=i

    if left<size and A[left]>A[i]:
        largest=left
    if right<size and A[right]>A[largest]:
 大专栏  算法导论 排序算法        largest=right
    if largest!=i:
        A[i],A[largest]=A[largest],A[i]
        MaxHeapify(A, largest, size)

"""建堆：
自底向上的方法利用MaxHeapify，把一个大小为n=A.length的数组A[1...n]转换为最大堆。
子数组A[lfloor n/2 rfloor+1...n]中的元素都是树的叶结点。每个叶结点都看作只有一个元素的最大堆。
时间复杂度：O(n)，线性时间内把无序数组构造成一个最大堆
"""
def (A, size):
    for i in range(0,len(A)//2)[::-1]:
        MaxHeapify(A, i, size)
    return A

"""堆排序算法：
用BuildMaxHeap将输入数组A[0...n-1]构建成最大堆，其中n=A.length。
因为数组中的最大元素总在根结点A[0]中，通过它与将A[n-1]进行互换，让该元素放到正确的位置。
如果从堆中去掉结点n（A.heapsize-1），剩余结点中，原来根结点的孩子结点仍然时最大堆，而
最新的根结点可能会违背最大堆性质，为维护最大堆性质，要调用MaxHeapify(A,0,size)，
从而使在A[0...n-2]上构造一个新的最大堆，直至堆的大小从n-1降到2
时间复杂度：$O(n lg n)$，BuildMaxHeap是O(n)，n-1次调用MaxHeapify $ O(lg n)$
"""
def HeapSort(A):
    size=len(A)
    BuildMaxHeap(A, size)

    for i in range(1, len(A))[::-1]:
        A[0],A[i]=A[i],A[0]
        size-=1
        MaxHeapify(A, 0, size)
    return A

if __name__=='__main__':
    import random
    print( "Now displaying HeapSort")
    s = random.randint(5, 10)
    A = []
    for i in range(0, s):
        A.append(random.randint(0, 1000))
    print (A)
    print (HeapSort(A))

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