逆滤波和维纳滤波

逆滤波 Inverse Filter

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如果仅有退化函数 $h(x,y)$导致图像 $f(x,y)$退化为 $g(x,y)$，那么退化图像表示为：
$g(x,y)=h(x,y)\star f(x,y)$
在频率域中，则为：
$G(x,y)=H(x,y)F(x,y)$
这时我们使用逆滤波的话将会是一个完美的结果，完全恢复图像：
$\hat{F} = \frac{G(u, v)}{H(u,v)}$

其中， $G(u,v)$为退化图像的频域， $H(u,v)$为退化函数频域，再对结果取共轭后进行快速傅里叶变换即可
但是，一般来说图像都不会仅仅只是退化，图像都会有噪声存在，我们假设这是一个加性噪声，那么退化图像将表示为：
$g(x,y) = h(x, y)\star f(x,y) + \eta(x,y)$
其中， $\eta(x,y)$是空域加性噪声，如果在频率域中则将表示为：
$G(u,v) = H(u,v)F(u,v) + N(u,v)$
这时如果我们直接对图像进行逆滤波操作的话，将会得到：
$\hat{F} = F(u,v) + \frac{N(u,v)}{H(u,v)}$
这时，我们将会得到一个非常糟糕的结果，因为这时如果退化函数 $H(u,v)$的值比较小的话，例如运动模糊，而噪声是一个高斯白噪声的话，那么此时噪声将会被放大，我们将会得到一个非常不理想的结果：

这个时候，使用Wiener滤波效果会显著改善

维纳滤波 Wiener filter

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这里给出常用的维纳滤波的表达式的近似式：
$\hat{F} = [\frac{1}{H(u,v)} \frac{{|H(u,v)|}^{2}}{{|H(u,v)|}^{2}+K}]G(u,v)$
其中，K为一个常数，我们可以通过不断调整K的值得到比较理想的滤波效果：

可以发现，当K逐渐增大，图像逐渐锐化，模糊程度降低，对比度增大，因为，当K逐渐增大时，K在的分母变大，对噪声的限制也就逐渐加强，所以图像逐渐变得清晰，但是，因为分母变大，整体的值变小，所以图像也就逐渐变暗，可以预见当K增大到一定程度后，继续增大图像效果将逐渐走下坡路，最后变成全黑。