文章目录
重要思想：
1.阶跃的数学意义带来的方程式的简化(t>0)
2.利用冲激阶跃的数学意义求初始状态。
跳变值，最高阶导是冲击，次高阶导的初值差等于跳变系数。
3.利用零输入零状态确定t=0-初值
4.利用LTS线性性质引入辅助函数，简化框图，简化方程最终解
5.方程的固有性类似于系统的固有性。
6.追寻相似的物体的本质，利用本质，显性推隐性物体。
大纲
f(t)->LTS系统->y(t)
系统里面有输入信号，有输出信号。
数学模型：
1.输入输出的约束条件，的关系，等式。
2.约束条件是从哪开始的，初始条件，边界条件
抽去物理意义，就得到了一般的意义，更加广泛。
电路系统，us，ut弹簧系统
相似系统，两种系统抽象方程相同
引入相似系统，可以通过显性的系统，类比着研究与其相似的隐性的系统。
微分方程的框图表示(直观)
数学表达，用框图模拟出。
先看部件，积分器表示积分运算，电容充电的时候，就是一个积分运算。
二阶微分方程：
基本运算：数乘，加法，积分
器：数乘器，加法器，积分器
微分可以用积分表达，微分器不稳定。
先把肯定有的画出来，比如，几阶微分，就有几个积分器。先画出来。
把最高阶移到一边，那么他就等于某几个量的和，此时就再加一个求和器，围绕着求和器，就可以画完。
如果方程右端含f(t)的导数，复杂的东西都是简单的东西的聚集。
那么先画右端只有f(t)的。引入一个辅助函数x(t)，
也就是说题目要求的是f(t)->LTI>y(t)。我们先画f(t)->LTI->x(t)。
先画f(t)输入，然后x(t)输出
f(t)->LTS->x(t)
f’(t)->LTS->x’(t)
af(t)->LTS->ax(t)
现在已经有了f(t)->x(t)
因此，根据线性时不变的性质，就能够推出，y(t)=x(t)+ax’(t)
也就是说，f(t)+af’(t)->LTI->y(t)
那么我们由框图写等式，已经有了f(t)->x(t)。但是最后输出的是y(t),而且y(t)=F(x(t))
那么我们直接带入F(f(t))->LTI->y(t)即可。
也就是说，x全换成y，而且f(t)换成F(f(t))。
微分方程的经典解
一个线性时不变系统可以用框图，微分方程等表示。
y(t)完全解=yh(t)齐次解+yp(t)特解
求yh(t):
1.根据齐次方程求出特征根方程的特征根
2.根据特征根写出齐次解。
求yp(t):
输入的形式不同，输出的形式不同，(与特征根有关)，任意带一个带到原微分方程中去，把输出的形式的系数进行对照，然后把系数对应出来。
最后yh和yp都有了，写一块，然后带入已知条件(边界条件)，把c1c2给求出来。此时劝诫已经ojbk了。
如果有两个未知数可以看作一个整体，那么可以用一个新的未知数表示
连续系统的初始值
求解微分方程，需要初始值。（系数匹配法）
初始值：n阶系统在t=0时，接入激励。其响应在t=0+时刻的值或之后的时刻的值。y(0+)是响应值
初始状态：系统还没有接入外界输入时具有的状态y(0-)是响应值
已知初始状态求初始值。
y‘’(t)+y’(t)=2δ(t)+ε(t)
只有可能是y‘’(t)包含δ(t)，因为如果y’(t)包含，那么y‘’(t)就是δ‘(t)。对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。
但是明显右边不满足这样一个条件。所以只有可能是y‘’(t)包含δ(t)
y‘’(t)包含，那么y‘(t)会有一个突变。因为δ(t)的导数是个阶跃。
那么可以推知，y’(0+)不等于y’(0-)，而且y(0+)=y(0-)。
因为如果y(0+)不等于y(0-)，那么他就是个阶跃，那么他的导数就是个冲击，但y’(t)又不是，所以y(0+)等于y(0-)
注意δ(t)在[0-,0+]面积为一，那么我们对微分方程两端积分，取积分区间为无穷小[0-,0+]。
最后剩下来的就只有y‘’(t)的积分，是y’(0+)-y’(0-)，还有δ(t)的积分。
那就ojbk了，已知y’(0-)，带到等式里，就解出y’(0+)
这是会跃变的，那如果不会跃变，那就y’(0+)=y’(0-)。
那么怎么看跃不跃变，那就是看等号右端含不含冲激函数，不含不跃变。
含了仅在等号左边最高阶导数有δ(t)
δ(t)读作德尔塔，ε(t)epsilon
零输入响应
f(t)->LTI({x}初始状态)->y(t)
yx(t)零输入响应yzi(t)（f=0）
yf(t)零状态响应yzs(t)（x=0）
y(t)=yzi(t)+yzs(t)
1.确定初始值：
y(0-)=yzi(0-)+yzs(0-)
yzs(0-)=0
y(0-)=yzi(0-)
y(0+)=yzi(0+)+yzs(0+)
yzi(t)对应齐次微分方程，不存在跃变。yzi(0+)=y(0-)=yzi(0-)
这里面可以是任意导数
2.求解步骤：
设定齐次解，带入初始值求待定系数
方程式左侧输出形式和加不加输入无关，那是他系统本身固有的一个形式。
零输入，那么右边的输入都为0.方程变为齐次。
最后解出的yzi式子，只有t>0时才成立。
零状态响应
1.确定初始值
yzs(0-)=0，yzs(0-)任意阶导数也是0
由系数匹配法，求出yzs(0+)及其相应导数
yzs‘(0+)-yzs’(0-)=冲击前面的系数。然后得出yzs‘(0+)
2.求解微分方程
如果只考虑t>0,那么就省去了方程右边的δ(t)而且ε(t)变成1，实现了方程的简化
我们就解这个微分方程即可
解出yzs(t)里面有未知系数，这时候带我们的初始值即可。
响应分类
1。固有响应，仅与系统本身特性有关，而与激励的函数形式无关。
齐次解常称为系统的固有相应或自由响应。
yh(t)固有响应，特征根称为固有频率，齐次解
yp(t)强迫响应 ，特解，与激励的函数形式有关
2.暂态响应=0(t趋于无穷大)
稳态响应(t无穷大，也能稳定下来，比如三角函数)
3.冲击响应阶跃响应
δ(t)->LTI->h(t)冲激响应，是零状态响应的一种(x=0)
f(t)=δ(t),h(0-)=h’(0-)=0
基本信号δ(t)，基本响应h(t)
求冲激响应：
先列系统的微分方程右边简化为一个δ(t)，就算输入是很复杂，那我们也可以根据LTI的性质，h(t)=F(h1(t))，其中h1(t)是右边只有一个δ(t)的响应，F是和δ(t)形式有关的函数。然后系数匹配法，把h’(0+)求出来，有了初始值，然后求解微分方程，带初始值，未知数也知道了，那最后就求出来了。
零乘任何数都是零，无穷小乘无穷大不一定为零。
如果说零输入响应，那么只能说t大于等于零，因为你不知到t<0时候它有没有东西，但是你说冲激响应，那可以明确，t<0时，输出为零。那么可以乘上一个ε(t)，证明我以明确，t<0时，输出为零。
ε(t)->LTI->g(t)阶跃响应，零状态响应
f(t)=ε(t),g(0-)=g’(0-)=0
g(t)=对h(t)负无穷到t的积分
还是系数匹配法，这里，g1(0+)=g1(0-)=0,g1’(0+)=g1’(0-)=0反推，如果不等于，那么是个阶跃，那么再求导是个冲击，但是右边又没有冲击，所以不是不等于，而是等于。
然后大于零，ε(t)写成1，再解出微分方程。
然后这个微分方程是个g1，那么再由线性组合性质，就ojbk了g