算法图解第八章笔记与习题（贪婪算法）

算法图解第八章笔记与习题（贪婪算法）

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8.1 贪婪算法

贪婪算法：对于一个问题，根据问题要求的目标，每步都选择局部最优解。在某些特定的情况下，贪婪算法能够得到最优解，但通常只能能够得到一个接近最优解的解。

举例：从十个数中选择五个使其和最大1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

根据问题要求的目标（和最大），每步都选择局部最优解（从未被选择的数中选择最大的那个数）。对于这个简单的情况来说，贪婪算法将得到最优解10+9+8+7+6=40。但对于更复杂的情况来说，通常会得到一个接近最优解的解。

8.2 集合覆盖问题

假设现在有个广播节目，要让全美国50个州的听众都收听得到，为此，需要决定在哪些广播台播出。在每个广播台播出都需要支付费用，因此必须在尽可能少的广播台播出。现有广播台名单如下：

每个广播台都覆盖特定的区域，不同广播台的覆盖区域可能重叠。

那么找出覆盖全美50个州的最小广播台合集呢？下面是解决步骤：

1. 列出每个可能的广播台集合，这被称为幂集（power set）。可能的子集有 $2^n$个。
2. 在这些集合中，选出覆盖全美50个州的最小集合。

这样做固然能找到最优解，但其时间复杂度为 $O(2^n)$，其中n为广播台数量。在这种情况下，我们可以使用贪婪算法来解决这个问题。步骤如下：

1. 选出这样一个广播台，即它覆盖了最多未覆盖的州。即便这个广播台覆盖了一些已覆盖的州（就是重复覆盖），也没有关系。
2. 重复第一步，直到覆盖了所有的州。

这是一种近似算法（approximation algorithm）。在获得精确解需要的时间太长时，可以考虑使用近似算法。判断近似算法优劣的标准如下：

• 速度有多快；
• 得到的近似解与最优解的接近程度。

因此贪婪算法是一个不错的选择，它们不仅简单，而且通常运行速度很快。在本例中，贪婪算法的运行时间为 $O(n^2)$，其中n为广播台数量。

代码如下：

# 创建一个列表，其中包含要覆盖的州
states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"]) # 传入一个数组，被转换为集合
 
stations = {}
stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"])
stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
stations["kfive"] = set(["ca", "az"])
 
final_stations = set() # 使用一个集合来存储最终选择的广播台
 
while states_needed:
  best_station = None # 将覆盖了最多的未覆盖州的广播台存储进去
  states_covered = set() # 一个集合，包含该广播台覆盖的所有未覆盖的州
  for station, states in stations.items(): # 循环迭代每个广播台并确定它是否是最佳的广播台
    covered = states_needed & states # 计算交集
    if len(covered) > len(states_covered): # 检查该广播台的州是否比best_station多
      best_station = station # 如果多，就将best_station设置为当前广播台
      states_covered = covered
 
  states_needed -= states_covered # 更新states_needed
  final_stations.add(best_station) # 在for循环结束后将best_station添加到最终的广播台列表中
 
print(final_stations) # 打印final_stations
set(['ktwo', 'kthree', 'kone', 'kfive'])
#（算法也可以用未被覆盖的州来做比较，未被覆盖的州越少，则该广播台是局部更优的广播台。）

上述代码中，set()是一种集合，类似于列表，但相同的元素在其中出现一次，也没有索引供查找。

另外，还涉及到了数学中交集的计算&，以及集合间相见-=。具体不做详细介绍。

使用上述贪婪算法的运行时间仅为 $O(n^2)$，比起遍历所有子集来获得精确解的精确算法 $O(2^n)$来说非常快。

8.3 NP完全问题

8.3.1 旅行商问题：

旅行商问题是指，旅行商需要在一次旅行中途径多个不同的城市，如何求解其最短路径。

对于 1 个城市而言，仅有 1 条可能的路径。

对于 2 个城市而言，有 2 个可能的起点X每个出发的城市1条可能的路径 = 2条可能的路径。

对于 3 个城市而言，有 3 个可能的起点X每个出发的城市2条可能的路径 = 6条可能的路径。

对于 4 个城市而言，有 4 个可能的起点X每个出发的城市6条可能的路径 = 24条可能的路径。

对于 5 个城市而言，有 5 个可能的起点X每个出发的城市24条可能的路径 = 120条可能的路径。

……

这是一个阶乘函数（factorical function），当涉及的城市越多时，可能的路径条数增加的非常快。因此当涉及的城市足够多时，根本就难以计算出旅行商问题的正确解。

NP完全问题的简单定义是，以难著称的问题，如旅行商问题和集合覆盖问题。（？）

8.3.2 如何识别NP完全问题

NP完全问题无处不在！如果能够判断出要解决的问题属于NP完全问题就好了，这样就不用去寻找完美的解决方案，而是使用近似算法即可。但要判断问题是不是NP完全问题很难，易于解决的问题和NP完全问题的差别通常很小。

但事实是没办法判断问题是不是NP完全问题，但还是有迹可循的：

• 元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
• 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
• 不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
• 如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

8.4 小结

• 贪婪算法寻找局部最优解，企图以这种方式获得全局最优解。
• 对于NP完全问题，还没有找到快速解决方案。
• 面临NP完全问题时，最佳的做法是使用近似算法。
• 贪婪算法易于实现、运行速度快，是不错的近似算法。

练习

习题8.1：

• 你在一家家具公司工作，需要将家具发往全国各地，为此你需要将箱子装上卡车。每个箱子的尺寸各不相同，你需要尽可能利用每辆卡车的空间，为此你将如何选择要装上卡车的箱子呢？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？

将剩余箱子中最大的一个装入箱子，直到将所有的箱子装入卡车为止。使用这种算法不能找到最优解。

习题8.2：

• 你要去欧洲旅行，总行程为7天。对于每个旅游胜地，你都给它分配一个价值——表示你有多想去那里看看，并估算出需要多长时间。你如何将这次旅行的价值最大化？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？

从剩余未去过的旅游胜地中选择价值最高的，直至时间用完为止。使用这种算法不能找到最优解。

习题8.3-5题干：

• 下面各种算法是否是贪婪算法。

习题8.3：

• 快速排序。

不是。

习题8.4：

• 广度优先搜索。

是。

习题8.5：

• 狄克斯特拉算法。

是。

习题8.6：

• 有个邮递员负责给20个家庭送信，需要找出经过这20个家庭的最短路径。请问这是一 个NP完全问题吗？

是。可转化为旅行商问题。

习题8.7：

• 在一堆人中找出最大的朋友圈（即其中任何两个人都相识）是NP完全问题吗？

是。可转化为集合覆盖问题。

习题8.8：

• 你要制作美国地图，需要用不同的颜色标出相邻的州。为此，你需要确定最少需要使用多少种颜色，才能确保任何两个相邻州的颜色都不同。请问这是NP完全问题吗？

不是。（图着色问题，是NP完全问题。）