第二章 矩阵及其运算 第一二节 矩阵/矩阵的运算

§2.1 矩阵
§2.2 矩阵的运算

2.1 矩阵

  由 $m×n$个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$排成的 $m$行 $n$列的数表
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots& a_{nn} \end{matrix}$
称为 $m$行 $n$列矩阵，简称 $m×n$矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作
$A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right),$
这 $m×n$个数称为矩阵 $A$的元素，简称为元，数 $a_{ij}$位于矩阵 $A$的第 $i$行第 $j$列，称为矩阵 $A$的 $(i,j)$元。以数 $a_{i,j}$为 $(i,j)$元的矩阵可简记为 $(a_{ij})$或 $(a_{ij})_{m×n}.$ $m×n$矩阵 $A$也记作 $A_{m×n}.$行数与列数都等于 $n$的矩阵称为 $n$阶矩阵或 $n$阶方阵。 $n$阶矩阵 $A$也记作 $A_{n}.$只有一行的矩阵 $A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})$
称为行矩阵，又称行向量。相应的也有列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果 $A=(a_{ij})$与 $B=(b_{ij})$是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n),$
那么就称矩阵 $A$与矩阵 $B$相等，记作 $A=B.$
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O.$

线性变换

$n$个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$与 $m$个变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$之间的关系式
$\begin{cases} y_{1} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n},\\ y_{2} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ y_{m} &= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n},\\ \end{cases} \tag{2}$
表示一个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$到变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$的线性变换，其中 $a_{ij}$为常数。线性变换 $(2)$的系数 $a_{ij}$构成矩阵 $A=(a_{ij})_{m×n}.$
给定了线性变换 $(2)$，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在一一对应的关系。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

设有两个 $m×n$矩阵 $A=(a_{ij})$和 $B=(b_{ij}),$那么矩阵 $A$和 $B$的和记作 $A+B,$规定为
$A+B = \left( \begin{matrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots& a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1}+b_{n1} & a_{n2}+b_{n2} & \cdots& a_{nn}+b_{nn} \end{matrix} \right).$

2.2.2 数与矩阵相乘

数 $\lambda$与矩阵 $A$的乘积记作 $\lambda A$或 $A\lambda,$规定为
$\lambda A = A\lambda = \left( \begin{matrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots& \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots& \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \cdots& \lambda a_{nn} \end{matrix} \right).$
矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

设 $A=(a_{ij})$是一个 $m×s$矩阵， $B=(b_{ij})$是一个 $s×n$矩阵，那么规定矩阵 $A$与矩阵 $B$的乘积是一个 $m×n$矩阵 $C=(c_{ij}),$其中
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{js}=\sum^{s}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}\\ (i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n),$
并把此乘积记作
$C=AB.$
对于两个 $n$阶方阵 $A,B,$若 $AB=BA,$则称方阵 $A$和 $B$是可交换的。

2.2.4 矩阵的转置

把矩阵 $A$的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $A$的转置矩阵，记作 $A^{T}.$
设 $A$为 $n$阶方阵，如果满足 $A^{T}=A,$即
$a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n),$
那么 $A$称为对称矩阵，简称对称阵。它的元素以对角线为对称轴对应相等。

2.2.5 方阵的行列式

由 $n$阶方阵 $A$的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 $A$的行列式，记作 $|A|$或 $detA.$
行列式 $|A|$的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$所构成的如下矩阵
$A^{*} = \left( \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots& A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots& A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots& A_{nn} \end{matrix} \right),$
称为矩阵 $A$的伴随矩阵，简称伴随阵。则有
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E.$

2.2.6 共轭矩阵

当 $A=(a_{ij})$为复矩阵时，用 $\overline{a}_{ij}$表示 $a_{ij}$的共轭复数，记
$\overline{A}=(\overline{a}_{ij}),$
$\overline{A}$称为 $A$的共轭矩阵。

《线性代数》同济大学第五版笔记