前言

本节介绍求图中有向图强连通分量，以及各个顶点分属于哪个强连通分量的方法。
主要有两种算法：Kosaraju, Tarjan

Kosaraju算法

参考书籍：算法概论、算法竞赛入门经典训练指南
思想：深度优先搜索(DFS)、强连通分量、有向无环图（DAG）、源点（入读为0的点）、汇点（出度为0的点）、反转图（原图中所有方向取反的图）

假设:

$V^1->V^2->V^3->...->V^n$ 表示强连通分量之间的连接关系
$V^i$ :一个强连通分量的顶点集合，可以看成是新生成的点
上面这个连接关系生成新的连接关系，即一个DAG图。

Kosaraju算法首先要找到第一个强连通分量 $V^1$ 中的一个点，然后对反转图 $G^R$ 进行DFS搜索，这次DFS搜索到的顶点均属于同一个连通分量 $V^1$ ,然后对 $V^{2}$ 中的点在 $G^R$ 中进行DFS，此时DFS到的点属于 $V^{2}$ ，以此类推即可找到所有强连通分量，以及每个顶点所对应的强连通分量

代码：

vector<int> G[maxn], G2[maxn]; //G是原图，G2是反转图
vector<int> S;
int vis[maxn],sccno[maxn];
int scc_cnt;//强连通分量的标号;

void dfs1(int u){
	if(vis[u]) return ;
	vis[u]=1;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++) dfs1(G[u][i]);
	S.push_back(u); //最后被push进去的是源点或者说是V1里的点
}

void dfs2(int u){
	if(sccno[u]) return;
	sccno[u]=scc_cnt;
	for(int i=0;i<G2[u].size();i++) dfs2(G2[u][i]);
}

void find_scc(int n){
	scc_cnt=0; //初始化强连通分量
	S.clear(); 
	memset(sccno,0,sizeof(sccno)); 
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++) 
		df1(i); //第一遍遍历生成S
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
		//如果该点还未归入任何强连通分量的话
		if(!sccno[S[i]]) {
			scc_cnt++; //强连通分量的标号加加
			dfs2(S[i]);
	}
}
//最后的结果就是sccno数组里的各个顶点的值代表了所属的强连通分量。

例子：

POJ-2186-Popular Cows

有一个坑是下标是从1开始的，所以要注意。

代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>

#define MAX 10010
using namespace std;

vector<int> g[MAX],gr[MAX];
int n,m; //n为总的牛数，m为数对的个数 
int sccnum; //强连通分量的标号 
int scc[MAX];

vector<int> s; //逆序存放各个强连通分量的点 
bool is_visited[MAX];

void dfs1(int index){
	is_visited[index]=true;
	
	int size=g[index].size();
	
	for(int i=0;i<size;i++){
		int temp_index=g[index][i];
		if(!is_visited[temp_index]){
			dfs1(temp_index);
		}
	}
	s.push_back(index);
}

void dfs2(int index){
	scc[index]=sccnum;
	
	int size=gr[index].size();
	
	for(int i=0;i<size;i++){
		int temp_index=gr[index][i];
		
		if(!scc[temp_index]){
			dfs2(temp_index);
		}
	}
}


int main(){
	int a,b;
	while(cin>>n>>m){
		memset(is_visited,0,sizeof(is_visited));
		sccnum=0;
		memset(scc,0,sizeof(scc));
		 
		s.clear();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			g[i].clear();
			gr[i].clear();
		}//清空图 
		
		for(int i=0;i<m;i++){
			cin>>a>>b;
			g[a].push_back(b);
			gr[b].push_back(a);
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!is_visited[i]){
				dfs1(i);
			}	
		} 
		
		for(int i=n-1;i>=0;i--){
			if(!scc[s[i]]){
				sccnum++;
				dfs2(s[i]);		
			} 
		}
		//以上是K算法的部分
		
		 
		int cc=0;
		int u;//u里面是最后一个连通分量的点
		 
		//以下检测图有没有连通 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(scc[i]==sccnum){
				cc++; 
				u=i;  
			}
		}
		
		memset(scc,0,sizeof(scc));
		dfs2(u);
		
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!scc[i]){
				cc=0;
				break;
			}
		} 
		
		cout<<cc<<endl;
	} 
	
}

Tarjan算法

伪代码参考：《算法竞赛入门经典训练指南》

vector<int> G[maxn]
int pre[maxn]; //最先访问到的节点标号
int lowlink[maxn];//lowlink[u]为节点u及其后代能追溯到最早(最先被发现)祖先点v的pre(v)值
int sccno[maxn];//sccno[i]为节点i的连通分量标号
int dfs_clock; //节点访问标号
int scc_cnt;   //连通分量标号 

void dfs(int u){
	pre[u]=lowlink[u]=++dfs_clock;
	S.push(u);
	
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];
		if(!pre[v]){
			dfs(v);
			lowlink[u]=min(lowlink[u],lowlink[v]);
		}else if(!sccno[v]){
			lowlink[u]=min(lowlink[u],pre[v]);
		}
	}
	
	//找到SCC里面第一个点
	if(lowlink[u]==pre[u]){
		scc_cnt++; //强连通分量标号+1
		for(;;){
			int x=S.top();S.pop();
			sccno[x]=scc_cnt;
			if(x==u) break; //栈里达到该连通分量的第一个节点的时候
		}
	}
}

void find_scc(int n){
	dfs_clock=scc_cnt=0;
	memset(sccno,0,sizeof(sccno));
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(!pre[i]) dfs(i);
}

对于poj的popular cows，这个算法需要找出出度为0的连通分量，然后输出

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 10005
vector<int> gra[N];
stack<int>sta;
int n,m,dfn[N],low[N],vis[N],num[N];
int degree[N],sum,now,res,loc;
void init()
{
    sum=0;
    now=0;
    res=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(degree,0,sizeof(degree));
    for(int i=0; i<=n; i++)
        gra[i].clear();
    while(!sta.empty())
        sta.pop();
}

void read()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        gra[a].push_back(b);
    }
}

void tarjan(int s)
{
    vis[s]=2;
    dfn[s]=low[s]=++now;
    sta.push(s);
    for(int i=0; i<gra[s].size(); i++)
    {
        int t=gra[s][i];
        if(dfn[t]==0)
        {
            tarjan(t);
            low[s]=min(low[s],low[t]);
        }
        else if(vis[t]==2)
            low[s]=min(low[s],dfn[t]);
    }
    if(low[s]==dfn[s])
    {
        sum++;
        while(!sta.empty())
        {
            int t=sta.top();
            sta.pop();
            vis[t]=1;
            num[t]=sum;     //缩点
            if(t==s)
                break;
        }
    }
}

void solve()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<gra[i].size(); j++)
            if(num[i]!=num[gra[i][j]])
                degree[num[i]]++;              //对缩点后的DAG进行出度的统计
    for(int i=1; i<=sum; i++)
    {
        if(degree[i]==0)
        {
            res++;
            loc=i;           //第几个强连通分量
        }
    }
    if(res>1)
        printf("0\n");
    else
    {
        res=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if(num[i]==loc)
                res++;
        printf("%d\n",res);
    }
}

int main()
{

    init();
    read();
    solve();
    return 0;

[图算法之强连通分量，两种算法]--[POJ 2186 Popular Cows]

图算法之强连通分量

前言

Kosaraju算法

例子：

Tarjan算法

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