EM算法双硬币模型的python实现

1 双硬币模型

$ $\quad$ `假设有两枚硬币A、B，以相同的概率随机选择一个硬币，进行如下的抛硬币实验：共做5次实验，每次实验独立的抛10次，结果如图中a所示，例如某次实验产生了H、T、T、T、H、H、T、H、T、H，H代表正面朝上。
假设试验数据记录员可能是实习生，业务不一定熟悉，造成下面两种情况：

$ $\quad$ `a) 表示实习生记录了详细的试验数据，我们可以观测到试验数据中每次选择的是A还是B 。

$ $\quad$ `b) 表示实习生忘了记录每次试验选择的是A还是B，我们无法观测实验数据中选择的硬币是哪个。

$KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 6: \quad$̲`问在两种情况下分别如何估计两…$ \quad$`以上的针对于b)实习生的问题其实和三硬币问题类似，只是这里把三硬币中第一个抛硬币的选择换成了实习生的选择。

$ $\quad$ `对于已知是A硬币还是B硬币抛出的结果的时候，可以直接采用概率的求法来进行求解。对于含有隐变量的情况，也就是不知道到底是A硬币抛出的结果还是B硬币抛出的结果的时候，就需要采用EM算法进行求解了。如下图：

double_yingbi

2 python实现

(1) 构建观测数据集

$ $\quad$ `针对这个问题，首先采集数据，用1表示H（正面），0表示T（反面）：

# 硬币投掷结果
observations = numpy.array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
                            [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
                            [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
                            [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
                            [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])

(2) 第一步：参数的初始化
theta_A=0.6;theta_B=0.5

(3) 第一个迭代的E步

抛硬币是一个二项分布，可以用scipy中的binom来计算。对于第一行数据，正反面各有5次，所以：

# 二项分布求解公式
contribution_A = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
contribution_B = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B)

将两个概率正规化，得到数据来自硬币A，B的概率：

weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)

有了weight_A,weight_B，就可以估计数据中A、B分别产生正反面的次数了。 weight_A 代表数据来自硬币A的概率的估计，将它乘上正面的总数，得到正面来自硬币A的总数，同理有反面，同理有B的正反面。

# 更新在当前参数下A、B硬币产生的正反面次数
counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

(4) 第一个迭代的M步
当前模型参数下，A、B分别产生正反面的次数估计出来了，就可以计算新的模型参数了：

new_theta_A = counts['A']['H']/(counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
new_theta_B = counts['B']['H']/(counts['B']['H'] + counts['B']['T'])

于是就可以整理一下，给出EM算法单个迭代的代码：

def em_single(priors,observations):

    """ EM算法的单次迭代 Arguments ------------ priors:[theta_A,theta_B] observation:[m X n matrix] Returns --------------- new_priors:[new_theta_A,new_theta_B] :param priors: :param observations: :return: """
    counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}
    theta_A = priors[0]
    theta_B = priors[1]
    # E step
    for observation in observations:
        len_observation = len(observation)
        num_heads = observation.sum()
        num_tails = len_observation-num_heads
        # 二项分布求解公式
        contribution_A = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
        contribution_B = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B)

        weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
        weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)
        # 更新在当前参数下A，B硬币产生的正反面次数
        counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
        counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
        counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
        counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

    # M step
    new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
    new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
    return [new_theta_A,new_theta_B]

(5) EM算法主循环
给定循环的两个终止条件：模型参数变化小于阈值；循环达到最大次数，就可以写出EM算法的主循环了.

def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000):
    """ EM算法 ：param observations：观测数据 ：param prior：模型初值 ：param tol：迭代结束阈值 ：param iterations：最大迭代次数 ：return：局部最优的模型参数 """
    iteration = 0;
    while iteration < iterations:
        new_prior = em_single(prior,observations)
        delta_change = numpy.abs(prior[0] - new_prior[0])
        if delta_change < tol:
            break
        else:
            prior = new_prior
            iteration += 1
    return [new_prior,iteration]

(6) 调用及结果
给定数据集和初值，就可以调用EM算法了：

import numpy 
import scipy
import scipy.stats
# 硬币投掷结果
observations = numpy.array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
                            [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
                            [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
                            [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
                            [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])
em(observations,[0.6,0.5])

得到：

[[0.72225028549925996, 0.55543808993848298], 36]

我们可以改变初值，试验初值对EM算法的影响。

em(observations,[0.5,0.6])

结果为:

[[0.55543727869042425, 0.72225099139214621], 37]

看来EM算法还是很健壮的。如果把初值设为相等会怎样？

em(observations,[0.3,0.3])

输出：

[[0.64000000000000001, 0.64000000000000001], 1]

显然，两个值相加不为1的时候就会破坏这个EM函数。

换一下初值：

em(observations,[0.99999,0.00001])

输出:

[[0.72225606292866507, 0.55543145006184214], 33]

EM算法对于参数的改变还是有一定的健壮性的。