LUOGU 4452 [国家集训队]航班安排最大费用最大流

title

神犇航空有 $K$ 架飞机，为了简化问题，我们认为每架飞机都是相同的。神犇航空的世界中有 $N$ 个机场，以 $0\cdots N-1$ 编号，其中 $0$ 号为基地机场，每天0时刻起飞机才可以从该机场起飞，并不晚于 $T$ 时刻回到该机场。一天，神犇航空接到了 $M$ 个包机请求，每个请求为在 $s$ 时刻从 $a$ 机场起飞，在恰好 $t$ 时刻到达 $b$ 机场，可以净获利 $c$ 。设计一种方案，使得总收益最大。

输入输出格式
输入格式：

第一行，4个正整数 $N,M,K,T$ ，如题目描述中所述；
以下 $N$ 行，每行 $N$ 个整数，描述一个 $N∗N$ 的矩阵 $t$ ， $t_{ij}$ 表示从机场 $i$ 空载飞至机场 $j$ ，需要时间 $t_{ij}$ ；
以下 $N$ 行，每行 $N$ 个整数，描述一个 $N∗N$ 的矩阵 $f$ ， $f_{ij}$ 表示从机场 $i$ 空载飞至机场 $j$ ，需要费用 $f_{ij}$ ；
以下 $M$ 行，每行5个整数描述一个请求，依次为 $a,b,s,t,c$ 。

输出格式：

仅一行，一个整数，表示最大收益。

输入输出样例
输入样例#1：

2 1 1 10
0 5
5 0
0 5
5 0
0 1 0 5 10

输出样例#1：

5

说明

对于10%的测试数据， $K=1$ ；
另有20%的测试数据， $K=2$ ；
对于全部的测试数据， $N,M<=200，K<=10，T<=3000，t_{ij}<=200，f_{ij}<=2000，0<=a,b<N，0<=s<=t<=T，0<=c<=10000，t_{ii}=f_{ii}=0，t_{ij}<=t_{ik}+t_{kj}，f_{ij}<=f_{ik}+f_{kj}$ 。

analysis

说一下做法：

考虑以请求为点进行建图，对每个请求进行拆点，拆点后两个点之间连容量为 $1$ ，代价为 $c$ 的边，代表着一个请求只能执行一次。
考虑时间限制：
<1>. 对于一个请求，如果 $0$ 时刻可以从 $0$ 机场飞到该请求的起点机场，那么 $源点s$ 向该请求连容量为 $INF$ ，代价为 $(−飞行费用)$ 的边，代表花掉了这么多费用。
<2>. 同理，若一个请求的结束时间，加上它的结束机场飞回 $0$ 的时间小于等于总的时间限制， $该请求$ 向 $汇点t$ 连边。
<3>. 但是每次执行完一个请求并未规定一定要飞回 $0$ 机场，也可以飞去其他请求的起点机场，所以两两枚举请求，如果满足时间条件也进行连边。
考虑有 $k$ 架飞机：再建一个 $源点s'$ ，向 $源点s$ 连容量为 $k$ ，代价为 $0$ 的边即可。
跑最大费用最大流即可。

当然我们肯定是要思考一下为什么可以这么做。

我刚看到这道题的时候，因为是奔着网络流题目才写的，所以当看到题目要求求出最大收益时，便不假思索的想到要用最大费用最大流。当然，这也是经过训练后才能产生的“直觉”。

然后，这道题其实蕴含了“飞机模型”、“费用流模型”（即我刚刚所说的最大收益），这才让我们能想到网络流之类的算法。

当然，我的语言可能有混乱（望路过大佬给出建议），但是，只是想传达思考是很重要的，读题是很重要的（除了题目描述不清的破题）。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010,maxm=1e6,inf=0xcfcfcfcf,INF=0x3f3f3f3f;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
	if (!x) { putchar('0'); return ; }
	if (x<0) putchar('-'), x=-x;
	T num=0, ch[20];
	while (x) ch[++num]=x%10+48,x/=10;
	while (num) putchar(ch[num--]);
}

int ver[maxm<<1],edge[maxm<<1],Next[maxm<<1],cost[maxm<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y,int z,int c)
{
	ver[++len]=y,edge[len]=z,cost[len]=c,Next[len]=head[x],head[x]=len;
	ver[++len]=x,edge[len]=0,cost[len]=-c,Next[len]=head[y],head[y]=len;
}

int S,T;
int dist[maxn],incf[maxn],pre[maxn];
bool vis[maxn];
inline bool spfa()
{
	memset(dist,0xcf,sizeof(dist));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	queue<int>q;q.push(S);
	dist[S]=0,vis[S]=1,incf[S]=1<<30;
	while (!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
		{
			if (!edge[i]) continue;
			int y=ver[i];
			if (dist[y]<dist[x]+cost[i])
			{
				dist[y]=dist[x]+cost[i];
				incf[y]=min(incf[x],edge[i]);
				pre[y]=i;
				if (!vis[y]) q.push(y),vis[y]=1;
			}
		}
	}
	if (dist[T]==inf) return false;
	else return true;
}

long long maxflow,ans;
inline void update()
{
	int x=T;
	while (x!=S)
	{
		int i=pre[x];
		edge[i]-=incf[T];
		edge[i^1]+=incf[T];
		x=ver[i^1];
	}
	maxflow+=incf[T];
	ans+=dist[T]*incf[T];
}

int t[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn],st[maxn],ed[maxn],c[maxn];
int main()
{
	int n,m,k,tim;
	read(n);read(m);read(k);read(tim);
	for (int i=0; i<n; ++i)
		for (int j=0; j<n; ++j) read(t[i][j]);
	for (int i=0; i<n; ++i)
		for (int j=0; j<n; ++j) read(f[i][j]);
	for (int i=1; i<=m; ++i)
		read(a[i]),read(b[i]),read(st[i]),read(ed[i]),read(c[i]);

	S=0,T=(n<<1)+2;
	for (int i=1; i<=m; ++i)
	{
		add(i<<1,i<<1|1,1,c[i]);
		for (int j=1; j<=m; ++j)
			if (ed[i]+t[b[i]][a[j]]<=st[j]) add(i<<1|1,j<<1,INF,-f[b[i]][a[j]]);

		if (t[S][a[i]]<=st[i]) add(S+1,i<<1,INF,-f[S][a[i]]);
		if (t[b[i]][S]+ed[i]<=tim) add(i<<1|1,T,INF,-f[b[i]][S]);
	}
	add(S,1,k,0);
	while (spfa()) update();
	write(ans),puts("");
	return 0;
}

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