挑战程序设计竞赛: 区间内的素数个数

题目大意

解题思路

埃式筛法的复杂度是 $O(nloglogn)$的。但是此题的范围是 $10^{12}$因此不能使用埃式筛法。并且空间复杂度也不允许。但是我们可以借鉴埃式筛法的思想，它根据两个事实；

• (1) $b$以内的合数的最小质因数一定不超过 $\sqrt b$。即 $x \in [a,b)$且 $x$是合数，因此其必有质因数小于 $\sqrt b$
• (2) 做出 $[2,\sqrt b)$的质数表，并从 $[a,b)$中划去所有质数倍数，剩下的就是质数。

因此为了解此题，我们需要维护一个

• $is\_prime1[i]$：用来判断 $i \in [2,\sqrt b)$范围内的数是否是素数。

由于数字太大，为了节省空间。我们维护一个

• $is\_prime2[i-a]$: 来判断 $i \in[a, b)$是否是素数.

代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1000000+5;
ll is_prime1[MAXN];
ll is_prime2[MAXN];

void get_primes(ll a, ll b)
{
	// ------------初始化 --------------
    for(ll i=0; i*i<b; i++)
        is_prime1[i] = 1;
    is_prime1[0] = is_prime1[1] = 0;

    for(ll i=a; i<b; i++)
        is_prime2[i-a] = 1;
	// ---------------------------------
	
    for(ll i=2; i*i<b; i++)
    {
        if(is_prime1[i])
        {
        	// 筛is_primes1
            for(ll j=(ll)2*i; j*j<b; j+=i)
                is_prime1[j] = 0;
                
			// 筛is_primes2
            for(ll j=(ll)(a-1+i)/i*i; j<b; j+=i)
                is_prime2[j-a] = 0;
        }
    }
}
int main()
{
    ll a, b;
    cin >> a >> b;

    get_primes(a, b);
    ll ans = 0;
    for(ll i=a; i<b; i++)
    {
        if(is_prime2[i-a])
            ans++;
    }
    cout << ans << endl;
}

知识点

• 上方的代码中有这么一行j = (ll)(a-1+i)/i*i。 $(a-1+i)/i$是对 $a/i$向上取整，因此此计算的作用是求得第一个 $>=a$的 $i$的倍数。