第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计研究对象是随机现象：
- 概率论：研究随机现象的模型(概率分布)；
- 数理统计：随机现象的数据收集与处理。
§1.1 随机事件及其运算
随机现象：在一定条件下并不总是出现相同的结果的现象；
随机试验：对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验；
样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合；\(\Omega=\{\omega\}\)，\(\omega\)：基本结果、又称样本点；
- 样本空间的元素可以是数也可以不是数；
- 样本空间至少有两个样本点，仅含有两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；
- 从样本空间含有样本点的个数来区分：
- 离散样本空间：样本点个数为有限个或可列个；
- 连续样本空间：样本点个数为不可列无限个。
随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合，简称事件；
任意事件是相应样本空间的一个子集；（Venn图）；
当子集中某个样本点出现了，就说事件发生了；
事件可以用集合表示，也可以用明白无误的语言描述；
基本事件 由样本空间Ω中的单个元素组成的子集； 必然事件 样本空间最大子集 不可能事件 样本空间Ω最小子集，即空集
随机变量：用来表示随机现象的结果的变量，表示时应写明随机变量的含义；
事件间的关系
- 包含关系：事件A发生必然导致事件B发生；
- 相等关系；
- 互不相容：A、B没有相同的样本点。
事件间的运算：并、交、差、余。
$A\cup B $：事件A、B中所有的样本点组成的新事件，两个事件中至少有一个发生；
\(A \cap B\)：事件A、B中公共的样本点组成的新事件；
\(\cup_{i=1}^n A_i，\cap_{i=1}^\infty A_i\) 交并运算可以推广至无限的情况；
\(A \setminus B\)：由在A中而不在事件B中的样本点组成的新事件；
\[ \{X=a\}=\{X\leq a\}-\{X<a\}，\{a<A\leq b\}=\{X\leq b\}-\{X\leq a\} \]\(\overline{A}\) :对立事件;
\[ A \setminus B= A \cap B^c \]
事件的运算性质：
- 交换律：A \(\cap\) B=B \(\cap\) A
- 结合律：\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)
- 分配律：\((A\cup B)\cap C=AC\cup BC\)
- De Morgen公式：\(\overline{\cup_{i=1}^\infty A_i}=\cup_{i=1}^\infty \overline{A_i}\)
事件域
一个样本空间中某些子集及其运算结果而组成的集合类，记为\(F\)，事件域要对集合的运算有封闭性，而：
交的运算可以通过并与对立实现；
差的运算可通过交与对立来实现；这样，并与对立是最基本的运算，于是事件域的定义如下：
设\(Ω\)为一样本空间，\(F\)为\(Ω\)的某些子集所组成的集合类，如果\(F\)满足：
- \(Ω∈F\)；
- 若\(A∈F\)，则对立事件\(\overline{A}∈F\)；
- 若\(A_n∈F，n=1，2…..\)，则可列并属于\(F\)。
则称\(F\)为一个事件域，又称为\(\sigma\)域 或\(\sigma\)代数。
在概率论中，又称\((\Omega ,F)\) 为可测空间。
§1.2 概率的定义及其确定方法
概率的公理化定义\(Kolmogrov\)
设\(\Omega\)为一个样本空间，\(F\)为\(\Omega\)的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件\(A\in F\)，定义在\(F\)上的一个实值函数\(P(A)\)满足：
非负性定理 若\(A\in F\)，则\(P(A)\geq 0\)，
正则性公理 \(P(\Omega)=1\)，
可列可加性 \(若A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots互不相容，则：P(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty (A_i)\)，
则称\(P(A)\)为事件A的概率,称三元素\((\Omega,F,P)\)为概率空间
确定概率的频率方法
在大量重复实验中，用频率的稳定值去获得概率
与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；
在n次重复实验中，记\(n(A)\)为事件A出现的次数，又称\(n(A)\)为事件A的频数
\[ f_n(A)=\frac{n(A)}{n} \]为事件A出现的频率
随着实验重复次数n的增加，频率\(f_n(A)\)会稳定在某一常数a 附近，这个常数称为频率的稳定值。
确定概率的古典方法
所涉及到的随机现象只是有限个样本点；
每个样本点发生的可能性相等；
若事件A含k个样本点，则事件A的概率为
\[ P(a)=\frac{事件A所含样本点个数}{\Omega中所有样本点个数}=\frac kn \]在古典方法中，求事件A的概率归结为计算A中含有的样本点个数和\(\Omega\)中含有的样本点的总数。
- 抽样模型
- 放回抽样
- 盒子模型
- 生日问题
确定概率的几何方法
确定概率的主观方法