【luogu 1450】 HAOI 2008 容斥原理

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不定方程非负整数解：，

对于表示的解的数目。

有的下界大于0，我们可以同时减掉这个下界，使下界都为0。

那么的不定方程形式为，这个长度为 k 的 a 数组相当于在枚举子集。

HAOI 2008：有4种不同的硬币c[i]，每种硬币都有一定的数量上限d[i]，买价值为S的物品，一共有多少种付款方式。实际上就是求解有限制的不定方程 非负整数解的个数。

等价于求解： 

二进制枚举子集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll c[5], d[5], tot, S, f[maxn];
int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &c[1], &c[2], &c[3], &c[4], &tot);
	f[0] = 1;  // 递推 预处理 每种都可以买无限制次的方案数
	for(int i = 1; i <= 4; i++) {  
		for(int j = c[i]; j < maxn; j++) f[j] += f[j - c[i]];
	}
	while(tot--) {
		scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &d[1], &d[2], &d[3], &d[4], &S);
		ll ans = 0;
		for(int i = 1; i < 16; i++) {  // 二进制枚举子集 买还是不买
			ll m = S, bit = 0;
			for(int j = 1; j <= 4; j++) {  // 超出限制d[j] + 1，剩下的随便买
				if(i >> (j - 1) & 1) m -= (d[j] + 1) * c[j], bit++;
			}
			if(m >= 0) ans += (bit % 2 * 2 - 1) * f[m];  // 容斥
		}
		printf("%lld\n", f[S] - ans);
	}
	return 0;
}

dfs 枚举

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll d[5], c[5], tot, S, f[maxn], ans;
void init()
{
	f[0] = 1;
	for(ll i = 1; i <= 4; i++) {
		for(ll j = c[i]; j < maxn; j++) f[j] += f[j - c[i]];
	}
}
void dfs(ll num, ll k, ll sum)
{
	if(sum < 0) return ;
	if(num == 5) {
		if(k & 1) ans -= f[sum];
		else ans += f[sum];
		return ;
	}
	dfs(num + 1, k + 1, sum - (d[num] + 1) * c[num]);
	dfs(num + 1, k, sum);
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",  &c[1], &c[2], &c[3], &c[4], &tot);
	init();
	while(tot --) {
		scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &d[1], &d[2], &d[3], &d[4], &S);
			ans = 0;
			dfs(1, 0, S);
			printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}