Question:
实现一个函数来完成频率域滤波。函数格式是“filter2d_freq(input_img, filter) → output_img”, 这里的“filter”是给定的滤波器。如有需要，可以修改函数格式。根据卷积定理，你需要对给定的图片和滤4波器做离散傅里叶变换/快速傅里叶变换 (DFT / FFT)，然后将他们乘起来，最后做离散傅里叶反变换/快速傅里叶反变换来获得滤波结果。因此，基于“dft2d”(或者“fft2d”)来实现“filter2d_freq”应该是比较简单的。当然，你需要注意一些细节，比如缠绕误差(wraparound error)（参加书本的第 4.7节）请载入你的输入图像，用你的程序"filter2d_freq"来完成：
1. 分别用 3 x 3，7 x 7 和 11 x 11 的均值滤波器来平滑你输入的图像，将相应的三个输出结果粘贴到报告里。
2. 用 3 x 3 的拉普拉斯滤波器来锐化你输入的图像（本上有 4 种拉普拉斯滤波器，参见图3.37，你可以使用其中任意一种），并将输出结果放在报告中。
3. 详细描述你是如何实现滤波操作的，也就是说，针对“filter2d_freq”函数进行算法说明，字数不能超过两页。
Answer:
function filter2d_freq(I,filter)
%读取原图像
if isstr(I)
img = imread(I);
end
[M,N] = size(img); %取出图像高度和宽度
[m,n] = size(filter); %取出滤波器高度和宽度
ori = double(img);
% 0填充图像矩阵和滤波器
P = 2*M;
Q = 2*N;
f = zeros(P,Q);
h = zeros(P,Q);
f(1:M,1:N) = img;
f(M+1:P,1:Q) = 0;
f(1:M,N+1:Q) = 0;
h(1:m,1:n) = filter;
h(m+1:P,1:Q) = 0;
h(1:m,n+1:Q) = 0;
f1 = double(f); %转为double类型便于计算
h1 = double(h);
s = 0;
h = 0;
%中心化图像和滤波器
for x=1:P
for y=1:Q
if rem(x+y,2)
f1(x,y) = -f1(x,y);
h1(x,y) = -h1(x,y);
end
end
end
%作图像和滤波器的傅里叶变化
for x=1:P
for v=1:Q
for y=1:Q
s = s + f1(x,y) * exp((-1i) * 2 * pi * v * y / Q);
h = h + h1(x,y) * exp((-1i) * 2 * pi * v * y / Q);
end
f2(x,v) = s;
h2(x,v) = h;
s = 0;
h = 0;
end
end
for u=1:P
for v=1:Q
for x=1:P
s = s + f2(x,v) * exp((-1i) * 2 * pi * u * x / P);
h = h + h2(x,v) * exp((-1i) * 2 * pi * u * x / P);
end
F(u,v) = s;
H(u,v) = h;
s = 0;
h = 0;
end
end
%作频率域乘积
for u=1:P
for v=1:Q
G(u,v) = H(u,v) * F(u,v);
end
end
%作图像和滤波器的傅里叶反变换
for u=1:P
for y=1:Q
for v=1:Q
s = s + G(u,v) * exp((1i) * 2 * pi * v * y / Q);
end
g1(u,y) = s;
s = 0;
end
end
for x=1:P
for y=1:Q
for u=1:P
s = s + g1(u,y) * exp((1i) * 2 * pi * u * x / P) / P;
end
g2(x,y) = real(s); %取实部
s = 0;
end
end
%再次中心化
for x=1:P
for y=1:Q
if rem(x+y,2)
g2(x,y) = -g2(x,y);
end
end
end
%截取M*N大小矩阵
for x=1:M
for y=1:N
g(x,y) = g2(x,y);
end
end
%输出结果
figure
subplot(221)
imshow(img)%显示原图像
axis on
title(['原图像']);
max = 0;
for u=1:M
for v=1:N
if (g(u,v) > max)
max = g(u,v);
end
end
end
scale = 256/max;
for u=1:M
for v=1:N
g(u,v) = g(u,v) * scale;
end
end
%g = ori - g; 拉普拉斯算子使用该公式；如果算子中间像素为正数，请把‘-’变‘+’;
subplot(222)
imshow(uint8(g))%显示滤波后图像;
axis on
title(['滤波后图像']);
Algorithm description:
我是根据书本 4.7.3 节内容按照它所描述的步骤一步步实现频率域滤波算法的。具体步骤
如下：
1. 选择填充参数 P=2M，Q=2N；
2. 对输入图像和滤波器补 0，生成 P*Q 大小的图像矩阵和滤波器；
3. 中心化，用(1)
x y 乘以图像矩阵以及滤波器移到其变换的中心；
4. 计算图像跟滤波器的 DFT，生成 F(u,v)和 H(u,v)；
5. 用阵列相乘形成乘积 G(u,v) = H(u,v) * F(u,v);
6. 作傅里叶反变换，公式为：
g(x,y) = {real[Ʒ-1[G(u,v)]]} * (1)
x y
7. 从 g(x,y)的左上限提取 M*N 区域，得到最终处理结果 g(x,y)。
相关代码：
矩阵补 0：
% 0 填充图像矩阵和滤波器
P = 2*M;
Q = 2*N;
f = zeros(P,Q);
h = zeros(P,Q);
f(1:M,1:N) = img;
f(M+1:P,1:Q) = 0;
f(1:M,N+1:Q) = 0;
h(1:m,1:n) = filter;
h(m+1:P,1:Q) = 0;
h(1:m,n+1:Q) = 0;
中心化，傅里叶正变换和反变换跟上一个代码基本类似，就不再附上；
频率域乘积：
%作频率域乘积
for u=1:P
for v=1:Q
G(u,v) = H(u,v) * F(u,v);
end
end
截取 M*N 大小图像作为输出
%截取 M*N 大小矩阵
for x=1:M
for y=1:N
g(x,y) = g2(x,y);
end
end