「JOISC 2014 Day3」稻草人

问题简述

链接
https://loj.ac/problem/2880

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  给定 $n$个稻草人（横纵坐标是不大于 $10^9$的非负整数且两两 $x,y$都不相同）
求有多少个矩形满足：

1. 边平行于横、纵轴
2. 左下角、右上角都是给定的稻草人
3. 内部不包含其它稻草人

解析

   $Step\ 1.{\ }$
  首先考虑,如果无视第三条,那么,该题变为了什么?
  给定二元组集合, $A=\{x,y\}$,那么对于任何 $\{x_i,y_i\}$, $\{x_j,y_j\}$,问有多少对点满足: $y_j>y_i\&\&x_j>x_i$
  对于这样的一个式子,我们很容易得到两种解法,第一种:树状数组/万能的线段树.第二种: $cdq$分治.当然,本蒟蒻选择第二种.(为什么?树状数组咱还没学,线段树不会使)
  然后呢, $cdq$分治的标准操作为?

void solve(int left, int right)
{
	if (left == right)
		return;
	int mid = (left + right) >> 1;
	solve(left, mid), solve(mid+1 , right);//分治处理左半边和右半边
	/**
	*处理两边关系的代码
	*/
}

好的,本题完结

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   $Step\ 2.{\ }$
  于是,我们加上条件三.
  如何处理两边点之间的关系?
  对于左半边,我们假设右半边的点都是符合条件的.

1. 我们可以知道,如果左半边的一个点 $A$是符合条件的,那么 $答案ans+=右半边对于A符合条件的点$.
2. 我们在左半边加入 $B$点,若 $B$点的存在是与 $A$点不冲突的,那么 $答案ans+=右半边对于B符合条件的点$.
3. 若, $B$点与 $A$点的存在有矛盾,即不符合条件三,列如 $x_b<x_a,y_b>y_a$这种情况,我们应: $将A点对应的值删去,加入右半边对于B符合条件的点$

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   $Step\ 3.{\ }$
  结合 $Step\ 1$和 $Step\ 2$.我们已知的有:
  假设我们是对 $x$按照从小到大排序的,即对点按照 $x$离散化后.

1. 我们知道,左边的 $x$必定小于右边的 $x$.
2. 我们要按照y的大小对左右分别排序.
3. 对于右边,我们要维护一个按照 $x$单调递增的单调栈.(即按照 $y$递减)
4. 对于左边,我们要维护一个按照 $x$单调递减的单调栈.(即按照 $y$递增)
5. 每次左边新增一个 $i$点,我们都要让 $\\答案ans+=右边维护的单调栈长度.\\答案ans-=右边比y_i小的点.$
6. 我们知道单调栈是单调的…嗯,所以对于寻点,我们可以二分查找.

  分析结束,综上,细节请参阅分治的代码来理解,手动模拟一遍就非常明了了.

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来自LibreOJ的数据,非常适合模拟
输入
$10\\ 2\ 1\\ 3\ 0\\ 6\ 3\\ 10\ 2\\ 16\ 4\\ 0\ 8\\ 8\ 12\\ 11\ 14\\ 14\ 11\\ 18\ 10$
输出
$15$
示例图:

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#ifndef null
#define null -1
#endif
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 10;
const int INF = 1e9 + 10;
typedef long long ll;

struct vec {
	int x, y,len;
}tp[MAXN];
int q_R[MAXN], q_L[MAXN], n,tail_L, tail_R;
ll ans = 0;

bool cmpx(vec a, vec b)
{
	return a.x < b.x;
}

bool cmpy(vec a, vec b)
{
	return a.y > b.y;
}

int find(int y)
{
	int left= 1, right= tail_R, mid=(left + right) >> 1;
	while(left < right){
		if (tp[q_R[mid]].y < y)
			right = mid;
		else
			left = mid + 1;
		mid = (left + right) >> 1;
	}
	if (!tail_R || tp[q_R[left]].y < y)
		left--;
	return left;
}

void solve(int left, int right)
{
	if (left == right)
		return;
	int mid = (left + right) >> 1;
	solve(left, mid), solve(mid+1 , right);
	sort(tp+left, tp + mid+1, cmpy);
	sort(tp + mid + 1, tp + right + 1, cmpy);

	int i = left, j = mid + 1;
	tail_L = tail_R = 0;
	while (i <= mid && j <= right)
		if (tp[i].y > tp[j].y) {
			while(tail_L > 0 && tp[q_L[tail_L]].x < tp[i].x)
				tail_L--;
			ans += tail_R;
			if (tail_L > 0)
				ans -= find(tp[q_L[tail_L]].y);
			q_L[++tail_L] = i;
			i++;
		}
		else {
			while(tail_R > 0 && tp[q_R[tail_R]].x > tp[j].x)
				tail_R--;
			q_R[++tail_R] = j;
			j++;
		}
	for (; i <= mid; i++) {
		while(tail_L > 0 && tp[q_L[tail_L]].x < tp[i].x)
			tail_L--;
		ans += tail_R;
		if (tail_L > 0)
			ans -= find(tp[q_L[tail_L]].y);
		q_L[++tail_L] = i;
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> tp[i].x >> tp[i].y;
	sort(tp+1, tp + n+1, cmpx);
	
	solve(1, n);

	cout<< ans << endl;

	//system("pause");
	return 0;
}