背包DP——货币系统

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]× t[i] 的和为 x。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出T组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 n。

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式
输出文件共有T行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

数据范围
$1≤n≤100$,
$1≤a[i]≤25000$,
$1≤T≤20$
输入样例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出样例：
2
5

题解：

最大独立集
1，a1,a2…an一定可以表示出来。
2，最优解中b1,b2…bn一定是从a1,a2…an中选择出来的。
3，b1,b2…bm一定不能被其他bi表示出来。（否则我们可以把他们去掉）。
我们排序完了过后，我们当前的ai一定只能被自己或者前面的硬币组成，并且我们第一个就一定要选择。所以记下来的东西就是完全背包的问题了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,M=25005;
int a[N],f[M];
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n; cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
        int res=0;
        sort(a,a+n);
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0]=1;
        int m=a[n-1];
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(!f[a[i]]) res++;
            for(int j=a[i];j<=m;j++){
                f[j]+=f[j-a[i]];
            }
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}