给定集合
A和
B,可以通过集合的并
(∪)、交
(∩)、相对补
(−)、绝对补
(∼)和对称差
(⊕)等运算产生新的集合。
- 并集
A∪B
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}可以把
n个集合的并集简记为
i=1⋃nAi=A1∪A2∪...∪An
- 交集
A∩B
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}当两个集合的交集是空集时,称它们是不交的。
可以把
n个集合的交集简记为
i=1⋂nAi=A1∩A2∩...∩An
-
B对
A的相对补集
A−B
A−B=A−A∩B={x∣x∈A∧x∈/B}
- 绝对补集
∼A
设
E为全集,
A⊆E,则称
A对
E的相对补集为
A的绝对补集,记做
∼A或A
∼A=E−A={x∣x∈E∧x∈/A}或简记为
∼A={x∣x∈/A}
-
A与
B的对称差
A⊕B
A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)根据对称差的定义公式可得推论:
5.1.
A⊕A=∅
5.2.
A⊕∅=A
集合运算的主要算律
算律 |
公式 |
幂等律 |
A∪A=A |
A∩A=A |
结合律 |
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) |
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) |
交换律 |
A∪B=B∪A |
A∩B=B∩A |
分配律 |
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) |
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) |
同一律 |
A∪∅=A |
A∩E=A |
零律 |
A∪E=E |
A∩∅=∅ |
排中律 |
A∪∼A=E |
矛盾律 |
A∩∼A=∅ |
吸收律 |
A∪(A∩B)=A |
A∩(A∪B)=A |
德摩根律 |
A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) |
A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C) |
∼(A∪B)=∼A∩∼B |
∼(A∩B)=∼A∪∼B |
∼∅=E |
∼E=∅ |
否定律 |
∼(∼A)=A |