基于Excel的QR二维码生成工具——原理及算法详解（之三）

在上一篇文章中我们讨论了使用工作表函数计算RS码的算法，接下来，我们将讨论生成多项式的计算以及RS码计算的VBA算法。在已经有了工作表函数计算RS码的情况下，还要探讨使用VBA的原因是因为VBA的计算速度比工作表函数快得多。

在开始探讨生成多项式之前，必须要说明的是，在QR码标准GB18284-2000的附录中已经附带了所有在QR计算中可能会需要的生成多项式，甚至不需要的都一并附上了：

但是，有意思的是，RS码的生成多项式其实并不止一个，而且QR标准中给出的并不是标准生成多项式。我尝试了使用标准生成多项式所计算的纠错码，将其填充到QR矩阵中后，同样能够正确解码而且能够正确地纠错。因此，如果没有耐心，只想寻求干货的同学可以绕过这一段，而有兴趣的同学可以一起探讨一下，使用不同的生成多项式来创建与QR标准中完全不同的二维码。

我们知道标准生成多项式的公式为：

$$g(x)=(x+a)(x+a^2)(x+a^3)\cdots(x+a^{n-k})$$ ，从这个公式可以看出来其实这是一个非常典型的递进算法，如果令 $n-k=v$，且另上式为 $g_v(x)$，那么我们可以看到： $$g_1(x)=(x+a)$$ $$g_2(x)=(x+a)(x+a^2)=g_1(x)(x+a^2)$$ 以至于一般地 $$g_v(x)=g_{v-1}(x)(x+a^v)$$

我们可以如同上一节中一样，将上述多项式的计算通过一个表格来实现：

v=	$x$的幂次	$x^0$	$x^1$	$x^2$	$x^3$	$x^4$	$x^5$
$g_1(x)$	$a$的幂次	1	0
乘数	$a$的幂次	2	0

上表中使用不同的列代表多项式的不同次数的项，并且将系数写到单元格中，可见第二行表示的就是$g_1(x)$，因为这个多项式的$x^0$项系数为$a$的1次幂，而$x^1$项系数为$a$的0次幂，也就是$(x+a)$。同理，“乘数”行表示的多项式就是$(x+a^2)$了。那么要计算$g_2(x)$需要用乘数乘以$g_1(x)$，在表格中就是用乘数的所有系数分别乘以$g_1(x)$的所有系数，并且进行恰当的移位：

v=	$x$的幂次	$x^0$	$x^1$	$x^2$	$x^3$	$x^4$	$x^5$
$g_1(x)$	$a$的幂次	1	0
乘数	$a$的幂次	2	0
$g_1(x)$乘以2	$a$的幂次	3	2
$g_1(x)$乘以0	$a$的幂次		1	0
$g_2(x)$	$a$的幂次	3	26	0

上表中表示了这样的计算，请注意$g_1(x)$乘以0的结果是向右移位的，这是因为“0”项的次数为1，因此乘以$g_1(x)$以后会使它的多项式所有项的幂次升高一次，在表格上就表示为右移一位。然后将两次计算的结果相加，就得到了$g_2(x)$的多项式

同理我们可以用上面的表格计算$g_3(x)$乃至于$g_v(x)$

v=	$x$的幂次	$x^0$	$x^1$	$x^2$	$x^3$	$x^4$	$x^5$
$g_2(x)$	$a$的幂次	3	26	0
乘数	$a$的幂次	3	0
$g_2(x)$乘以3	$a$的幂次	6	29	3
$g_2(x)$乘以0	$a$的幂次		3	26	0
$g_3(x)$	$a$的幂次	6	201	199	0

在Excel中可以很容易根据上面的表格来构造$g(x)$的计算公式矩阵：

需要注意的是，在上面的算法中表格的最左列是$x$的最低次幂，而在RS计算表格中，最左列是$x$的最高次幂，因此在使用计算结果的时候，需要进行一次倒序，同时还需要将$a$的幂次转化成系数才行

好了，现在我们已经完成了生成多项式的构造，并且探讨了RS码的表格式计算算法。已经完全可以开始进行QR的制作了么？不，没那么简单，使用工作表函数的RS码在进行小规模计算时，计算速度是完全可以胜任的，但是，如果填充的是高版本的QR码，计算量就非常可观了。通常情况下，一个QR码需要对长达上百位的数据码计算30个纠错码，并且因为QR的分段设计，同样的纠错码计算需要重复几十次，这样就导致计算表十分庞大，计算次数达到上百万次。我验证了一下，这样的表格在我的电脑上需要大约25秒才能完成计算，不具备实用性。因此，下面的VBA代码被用来实现同样的RS计算功能，但结果可以瞬间得到：

Private Function ECCALC(dataWords, N, k, gp)
' function that calculates error correction code of the input code words by generate polynomial
' codewords as first argument is the code word for which EC code is calculated
' n as second argument total number of code words
' k as third argument defines the number of data code words, thus n-k is the number of error correction code words
' output of the function is also defined as an array that contains the error correction code
' the error correction code is calculated on the galois field with primitive polynomial= x^8+x^4+x^3+x^2+1=0
'
Dim gpWords(), cWords(), dWords(), prod() As Long
ReDim gpWords(N - k), cWords(N), dWords(N), prod(N - k)
Dim divider As Long
Dim num, EC As Variant
Dim i,j As Long

    With Sheets("RS Calc")
        For i = 0 To 254
            GF(i) = .Cells(7, i + 6)
            GFP(i) = .Cells(8, i + 6)
        Next
    End With
    'read genpoly
    i = 0
    For Each num In dataWords
        If IsNumeric(num) Then
            cWords(i) = num
            i = i + 1
        End If
    Next
    i = 0
    For Each num In gp
        If IsNumeric(num) Then
            gpWords(i) = num
            i = i + 1
        End If
    Next
    'RS calculation starts
    For i = 0 To k - 1
        divider = cWords(0)
        For j = 0 To N - 2     'calculate next code words by multiply genopoly with divider, and substract code word
            If j < N - k And divider <> 0 Then
                num = cWords(j + 1) Xor nGfMult(divider, gpWords(j + 1))
            Else
                num = cWords(j + 1) Xor 0
            End If
            cWords(j) = num
        Next
    Next
    ECCALC = cWords    
End Function