有向图 —— 拓扑排序小结

定义：

• 对一个有向无环图( Directed Acyclic Graph 简称DAG ) $G$进行拓扑排序，是将 $G$中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点 $u$和 $v$，若边 $<u,v>∈E(G)$，则 $u$在线性序列中出现在 $v$之前。

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应用：

1. 拓扑排序常用来 确定一个依赖关系集中，事物发生的顺序。我们可以把这些事物发生按照依赖关系构成DAG，或者称为 AOV网络（顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network) ）

2. 确定一个有向图是否为DAG（即是否有环），若 无法形成拓扑序，则说明有环。（即AOV网络关系中出现矛盾/死循环）

注意！ 拓扑序并不唯一，有些活动先后关系可以互换，并不影响。

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Kahn算法实现：

对于 $V$个结点 $E$条边 的 有向图 $G$，Kahn算法基于各点入度进行拓扑排序，时间复杂度 $O(V+E)$

大致过程：

1. 预处理得到所有点的入度；
2. 找到入度为 $0$的点 $u$，加入拓扑序，同时删除以 $u$为起点的边（即令相邻的 $v$入度 $-1$）；
3. 重复过程 $2$，直至无入度为 $0$的点；
4. 若还有点未排序，则说明有环；否则说明拓扑排序成功，且该图为DAG。

具体实现：

int num[maxn];     //num[i]表示点 i的拓扑序为 num[i]
bool topo()        //对 n个点 m条边(u->v)的有向图进行拓扑排序
{
    queue<int> q;  //队列存储入度为0的点
    int in[maxn]={0},tot=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)   //预处理得到入度
    {
        int v=e[i].v;
        in[v]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)   //找到初始入度为0的店
    {
        if(in[i]==0)
            q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        num[u]=++tot;     //加入拓扑序
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            in[v]--;
            if(in[v]==0)
                q.push(v);
        }
    }
    if(tot==n)  
        return true;
    else               //若tot不等于n，说明有环
        return false;
}