质数判断算法优化 之 （哥德巴赫猜想8位数验证）
这是一篇有关解决哥德巴赫猜想10位数验证的的c语言问题，最主要的算法优化在于质数判断。
最终，8位数哥德巴赫猜想验证总共用时5.328秒.期待继续优化。
思维导图先上
一，明确问题
什么是哥德巴赫猜想？
即任一大于2的偶数都可写成两个素数（也叫质数）之和。
百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B7%B4%E8%B5%AB%E7%8C%9C%E6%83%B3/72364
二，分析问题
1.质数
定义：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2.质数的范围
大于2的偶数（num），它等于一个数（i）与另一个数的和（num - i）。所以，i 与（num - i）的范围
是质数的范围。
3.质数的判断
判断 i 与（num - i）是不是质数，可以一个函数专门解决。
三，解决问题
1.0解决版本
1)质数范围问题解决：从2遍历到原数
2)质数判断问题解决：Num和所有比它小的数取余
**验证歌德巴赫猜想函数：**从四开始的偶数
void checkGoldBach(int Maxnum) {
int num;
for (num = 4; num < Maxnum; num += 2) { //从4开始的偶数
if(!canResolve(num)) {
printf("这个数%d无法分解为两个质数，哥德巴赫也要学学编程",num);
return;
}
}
printf("哥德巴赫猜想不亏为“数学王冠上的明珠”!\n");
}
分解偶数函数: 从哪个范围里找质数-----从2遍历到原数
boolean canResolve(int num) {
int i;
for (i = 3; i < num; i += 2) { //为什么不是从质数2开始？因为偶数减2必然是偶数，
//所以从3开始，+=2，避免分解偶数
if (isprime(i) && isprime(num - i)) {
printf("%d = %d + %d\n",num, i, (num - i) );
return TRUE;
}
}
return FALSE;
}
判断质数函数： Num和所有比它小的数取余
boolean isprime(int num) {
int i;
for (i = 2; i < num && num % i; i++) {
; //Num和所有比它小的数取余
}
return i >=num;
}
验证：10000以内的哥德巴赫猜想
但是，效果不好所以，2.0版本就得出世了
2.0版本
1)质数范围问题解决：
思考： 从 i 开始遍历，判断 i 与 （num - i）是不是质数，那么当 i 大于 （num / 2）时，遍历此时无意义。
例如： 偶数18 先判断 3 与 15，接着 5 与 13 ，（假设·继续）接着 7 与 11， 接着 9 和 9 ，
接着 11 与 7 此时就无意义了。两个质数最大都为原数的一半，例如 6 = 3 + 3， 10 = 5 + 5.
所以，此处只用遍历到原数的一半
2)质数判断问题解决：
思考： (i = 2; i <num && num % i; i++)， 从 i 遍历 到 num 太浪费时间。 如果 i 是偶数，偶数如果是质数的因数，那么 2 必定是，所以可以 把偶数排除。
换个说法，原数是10000，
如果 2 不是它的因数，则 5000也不是它的因数，那么在5001 ~ 10000也肯定找不到它的因数，
同样，3不是他的因数，那么3333也不是他的因数，则3334 ~ 5000 里也不存在它的因数。
于是，4 与 2500 ，5与 2000等等
直到，10000^0.5 = 100 是，此时100 ~ 10000以后的数都不需要找因数，只用看2 到 100.
所以，从 2遍历到原数的开方，就足够。
运行
3.0版本？
不不，不是的。细心的你可能发现了，boolean，这是什么东东？
一个真假的定义。1 代表TRUE ,0代表 FALSE，增强代码可读性。建立在一个.h文件里。
直接建立在同一文件夹就行。
#ifndef _MEC_H_
#define _MEC_H_
typedef unsigned char boolean; //用于真假声明
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define NOT_FOUND -1
#endif
记得在调用此库文件。
真 3.0版本
1)质数范围问题解决：还有更好的吗？也许。
2)质数判断问题解决：
引入一个思想，自幂数查找里讲过，以空间换时间，建立一个质数池子。怎么建？
看图：
初步池子是弄好了，虽然很大。那么怎么筛选呢？
介绍一个方法 -----质数筛选法（爱拉陶斯芬筛法）
筛选的主要方法：
1.划去2的倍数；
2.划去3的倍数；
3 划去5的倍数；（4的倍数同为2的倍数，已被划去）
4.划去7的倍数；（6的倍数同为3的倍数，已被划去）
5.划去11的倍数；（8和10的倍数同为2的倍数，而9的倍数也是3的倍数）
所以验证一个数是否是素数，可以用它来除以2，3，5，7，11…）
刚才上面笔者聊到先把偶数去除，也就是该方法的雏形，
你看，2 的倍数，偶数一定不是质数， 3 的倍数也一定不是质数。如此如此。
相当于，一个数是质数，那么就可以断定他的倍数不是质数。
而且
接下来
构建好质数池子之后，可以使用了。
运行：
4.0版本？
是真的，不过先介绍下位运算。
具体有关位运算会在专门文章里写一写。感觉一时半会讲不清楚。先用吧
位运算文章链接：凶悍的位运算
每一个字节都是从0~7标注下标。
void screenPrime(int count) {
int prime = 2;
unsigned int index; //
unsigned int i;
int lastNum;
for (index = 4; index < count; index += 2) {
SETB(primePool[index >> 3], index & 7); //偶数置为1；位运算法SETB:把某一字节的指定位给置1
}
lastNum = (int) (sqrt(count) + 1);
for (index = 3; index <= lastNum; index += 2) {
// 3的倍数置为1，接着5的倍数置为1.....
if (!GETB(primePool[(unsigned int) index >> 3], index & 7)) {
for (i = index * index; i < count; i += index) {
// inde*index，这里涉及一个跳转问题，具体看质数的爱拉陶斯芬筛法。
SETB(primePool[i >> 3], i & 7);
}
}
}
}
位运算带来的变化：
疯狂运用位运算，
最终上场：主函数的的故事
int main() {
int Maxnum;
int i;
long startTime;
long midTime;
long endTime;
printf("请输入查找最大范围:");
scanf("%d", &Maxnum);
primePool = (boolean *) calloc(sizeof(boolean), (num + 7) >> 3);
// 4到8要一个字节，9到16要两个字节。于是（4,8）+ 7 = （11，15）/ 8 == 1
// (9, 16) + 7 = (16, 23) / 8 == 2 所以使用(num + 7) >> 3
startTime = clock();
screenPrime(Maxnum);
midTime = clock();
checkGoldBach(Maxnum);
endTime = clock();
midTime -= startTime;
endTime -= startTime;
printf("建质数池子耗时%d.%03d，总共耗时：%d.%03d\n", midTime / 1000, midTime %1000
, endTime / 1000, endTime % 1000);
free(primePool);
return 0;
}
最后运行。
时间上同3.0差不太多，但空间上效率却节省了3.0的87.5%的空间。完结散花！！！
三，总结
1.算法优化需要做好数学分析。方法比想法有效。
2.函数功能的单一化。越纯粹越好编写。
3.不断优化，追求卓越。接触新的，好的想法。
感谢指导老师：铁血教主
笔者水平有限，目前只能描述以上问题，如果有其他情况，可以留言，有错误，请指教，有继续优化的，请分享，谢谢！
2019年11月30日 图书馆
