Leetcode4.寻找两个有序数组的中位数——巧妙使用二分法

引入

本题是这样的：

4.寻找两个有序数组的中位数
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

本题需要使用O(LogN)时间复杂度的算法，所以就是让人用二分的方法才能够达到要求。

寻找某个有序数组的中位数，换句话来说，就是寻找数组长度一半的最小的数字。举个例子：[1,2,2,2,3,4,5]，找到该数组的中位数，相当于找到(7+1)/2=3的那个数。换句话说，就是找到数组的一半。考虑偶数数组的情况也是这样的，[1,2,2,2,3,3,4,5]，数组长度为8，其一半是(8+1)/2=4和(8+2)/2=5。

所以，我们需要找到一个方法来找到两个排序数组的一半，那么方法就呼之欲出了。

Leetcode题解

两个数组长度分别为m和n，假设其中位数在k上，也就是说，我们要找到第k小的那个数或者第k和k+1小的那两个数（取决于m与n的和的奇偶）。

我们可以指导，第k个最小的那个数，也就是： $k_1=(m+n+1)/2$和 $k_2=(m+n+2)/2$。

我们可以使用下面的方法来找到第k个最小的数，假设不妨假设k=7：

我们可以先找到两个数组k/2位置的数。然后比较nums1[k/2]和nums2[k/2]的大小，较小的那个数组的前k/2个可以排除掉，因为中位数必然不在这k/2中，也就是上图的1，2，3都不是中位数中的数字。

我们想想为什么可以这样排除呢？
A数组中比 A[k/2] 小的数有 k/2-1 个，B 数组中，B[k/2] 比 A[k/2] 小，假设 B[k/2] 前边的数字都比 A[k/2] 小，也只有 k/2-1 个，所以比 A[k/2] 小的数字最多有 k/1-1+k/2-1=k-2个，所以 A[k/2] 最多是第 k-1 小的数。而比 A[k/2] 小的数更不可能是第 k 小的数了，所以可以把它们排除。

按照这个思路，进行第二次排除，不过这一次，由于已经排除掉了k/2个，所以只需要再排除(k-k/2)/2个：

也就是说，本次只需要排除掉2个。

这样以此类推下去，下一次就是k=2，k/2=1的情况，此时还不能直接得出答案，因为k一开始等于7，我们此时只排除了5个，还需要再排除1个。继续，不妨假设这一次排除的是下面的那个4。

此时的情况是：

k=1，那么就是说，此时指向的两个数之中，必然有一个中位数存在，很明显，我们找的是第k小的那个数，那么，在图中，我们找的就是4。

好了，本题代码如下：

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int m = nums2.length;
    int left = (n + m + 1) / 2;
    int right = (n + m + 2) / 2;
    //将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
    return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;  
}
    
    private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
        int len1 = end1 - start1 + 1;
        int len2 = end2 - start2 + 1;
        //让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1 
        if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
        if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];

        if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

        int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
        }
        else {
            return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
        }
    }

后记
除了此题的二分法外，用到了二分法的题还非常多，比如：
69. x 的平方根