慕课（4）

树：
二叉搜索树：
二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

原理：
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

查找算法：
1.如果二叉查找树为空，则返回空操作，否则，执行一下操作；
2.先取根节点，如果节点 X 等于根节点，则返回；
3.如果节点小于根节点，则递归查找左子树；
4.如果节点大于根节点，则递归查找右子树。

Node p = tree;
        while (p != null) {
            if (data < p.data) p = p.left;
            else if (data > p.data) p = p.right;
            else return p;

插入算法：
1.如果树是空的，则直接将新节点插入，否则，执行下面步骤。
2.要插入的数据比根节点数据大，则到右子树中插入新数据，如果右子树为空，则将新数据直接插入到右子节点的位置；不为空，则继续遍历右子树，查找插入位置。
3.要插入的数据比根节点数据小，则到左子树中插入数据，如果左子树为空，则直接将新数据插入到左子节点的位置；不为空，则继续遍历左子树，查找插入的位置。

if (tree == null) {
            tree = new Node(data);
            return;
        }
        
        Node p = tree;
        while (p != null) {
            if (data > p.data) {
                if (p.right == null) {
                    p.right = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.right;
            } else { //data < p.data
                if (p.left == null) {
                    p.left = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.left;
            }
        }

删除算法：
1.第一种情况，如果要删除的节点没有子节点，直接将父节点指向要删除节点的指针指向 null。比如途中要删除的节点 55。
2.第二种情况，如果要删除的节点只有一个节点，即只有左子节点或右子节点，则将父节点指向要删除节点的指针指向要删除节点的子节点即可。比如途中要删除的节点
3.第三种情况，如果要删除的节点有两个子节点，则需要先找到这个节点右子树中的最小节点或者左子树中的最大节点，将其替换到要删除的节点上。然后删除这个右子树中的最小节点或左子树中的最大节点，这样就可以利用

 Node p = tree; //p 指向要删除的结点，初始化指向根节点
        Node pp = null; //pp 记录的是 p 的父节点
        
        while (p != null && p.data != data) {
            pp = p;
            if (data > p.data) p = p.right;
            else p = p.left;
        }
        if (p == null) return; //没有找到
        
        //要删除的节点有两个子节点
        if (p.left != null && p.right != null) {//查找右子树中最小的节点
            Node minP = p.right;
            Node minPP = p; //minPP 表示 minP 的父节点
            while (minP.left != null) {
                minPP = minP;
                minP = p.left;
            }
            p.data = minP.data; //将 minP 的数据替换到 p 中
            p = minP; //下面就变成了删除 minP 了,要结合整个删除函数来看
            pp = minPP;
        }
        
        //删除的是叶子节点或者仅有一个子节点
        Node  child; //p 的子节点
        if (p.left != null) child = p.left;
        else if (p.right != null) child = p.right;
        else child = null;
        
        if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
        else if (pp.left == p) pp.left = child;
        else pp.right = child;

平衡二叉树：

性质：
它或者是颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：

它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1,0,1.
只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。

因为还不是很会，所以代码看的别人的博客：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//分别定义平衡因子数
#define LH +1
#define EH  0
#define RH -1
typedef int ElemType;
typedef enum {false,true} bool;
//定义二叉排序树
typedef struct BSTNode{
    ElemType data;
    int bf;//balance flag
    struct BSTNode *lchild,*rchild;
}*BSTree,BSTNode;
//对以 p 为根结点的二叉树做右旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void R_Rotate(BSTree* p)
{
    //借助文章中的图 5 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree lc = (*p)->lchild;
    (*p)->lchild = lc->rchild;
    lc->rchild = *p;
    *p = lc;
}
////对以 p 为根结点的二叉树做左旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void L_Rotate(BSTree* p)
{
    //借助文章中的图 6 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree rc = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = rc->lchild;
    rc->lchild = *p;
    *p = rc;
}
//对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理，令指针 T 指向新的根结点
void LeftBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc,rd;
    lc = (*T)->lchild;
    //查看以 T 的左子树为根结点的子树，失去平衡的原因，如果 bf 值为 1 ，则说明添加在左子树为根结点的左子树中，需要对其进行右旋处理；反之，如果 bf 值为 -1，说明添加在以左子树为根结点的右子树中，需要进行双向先左旋后右旋的处理
    switch (lc->bf)
    {
        case LH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            R_Rotate(T);
            break;
        case RH:
            rd = lc->rchild;
            switch(rd->bf)
        {
            case LH:
                (*T)->bf = RH;
                lc->bf = EH;
                break;
            case EH:
                (*T)->bf = lc->bf = EH;
                break;
            case RH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = LH;
                break;
        }
            rd->bf = EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            R_Rotate(T);
            break;
    }
}
//右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似
void RightBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc,rd;
    lc= (*T)->rchild;
    switch (lc->bf)
    {
        case RH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        case LH:
            rd = lc->lchild;
            switch(rd->bf)
        {
            case LH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = RH;
                break;
            case EH:
                (*T)->bf = lc->bf = EH;
                break;
            case RH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = LH;
                break;
        }
            rd->bf = EH;
            R_Rotate(&(*T)->rchild);
            L_Rotate(T);
            break;
    }
}
int InsertAVL(BSTree* T,ElemType e,bool* taller)
{
    //如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
    if ((*T)==NULL)
    {
        (*T)=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        (*T)->bf = EH;
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        *taller=true;
    }
    //如果二叉排序树中已经存在 e ，则不做任何处理
    else if (e == (*T)->data)
    {
        *taller = false;
        return 0;
    }
    //如果 e 小于结点 T 的数据域，则插入到 T 的左子树中
    else if (e < (*T)->data)
    {
        //如果插入过程，不会影响树本身的平衡，则直接结束
        if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
            return 0;
        //判断插入过程是否会导致整棵树的深度 +1
        if(*taller)
        {
            //判断根结点 T 的平衡因子是多少，由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡，所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时，需要进行左子树的平衡处理，否则更新树中各结点的平衡因子数
            switch ((*T)->bf)
            {
                case LH:
                    LeftBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
                case  EH:
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = true;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    //同样，当 e>T->data 时，需要插入到以 T 为根结点的树的右子树中，同样需要做和以上同样的操作
    else
    {
        if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
            return 0;
        if (*taller)
        {
            switch ((*T)->bf)
            {
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = false;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = RH;
                    *taller = true;
                    break;
                case  RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    return 1;
}
//判断现有平衡二叉树中是否已经具有数据域为 e 的结点
bool FindNode(BSTree root,ElemType e,BSTree* pos)
{
    BSTree pt = root;
    (*pos) = NULL;
    while(pt)
    {
        if (pt->data == e)
        {
            //找到节点，pos指向该节点并返回true
            (*pos) = pt;
            return true;
        }
        else if (pt->data>e)
        {
            pt = pt->lchild;
        }
        else
            pt = pt->rchild;
    }
    return false;
}
//中序遍历平衡二叉树
void InorderTra(BSTree root)
{
    if(root->lchild)
        InorderTra(root->lchild);
   
    printf("%d ",root->data);
   
    if(root->rchild)
        InorderTra(root->rchild);
}
int main()
{
    int i,nArr[] = {1,23,45,34,98,9,4,35,23};
    BSTree root=NULL,pos;
    bool taller;
    //用 nArr查找表构建平衡二叉树（不断插入数据的过程）
    for (i=0;i<9;i++)
    {
        InsertAVL(&root,nArr[i],&taller);
    }
    //中序遍历输出
    InorderTra(root);
    //判断平衡二叉树中是否含有数据域为 103 的数据
    if(FindNode(root,103,&pos))
        printf("\n%d\n",pos->data);
    else
        printf("\nNot find this Node\n");
    return 0;
}