【ACM算法】-- 数学问题篇 - 分解素因数

第一题：


思路：
这个题，虽说看着恶心，但是，这是一个组合类型的题目，相当于一个素数筛法和一个取模运算的综合题。至于计算质因数，只需要一直取模一直取模就可以了，只不过这个代码要和数位拆解的代码进行相应的区分。

代码如下：

#include<stdio.h>
bool mark[100001];
int prime[100001];
int primeSize;
void init(){
	for(int i=0;i<100001;i++){
		mark[i]=false;
	}
	primeSize=0;
	for(int i=2;i<100001;i++){
		if(mark[i]==true)continue;
		prime[primeSize++]=i;
		if(i>=1000)continue;//对于这个，我个人感觉可加可不加，，
		//因为这个语句相对于下面的只是少了一个加减乘除运算的步骤，至于这个时间消耗，可能不是很大吧。
		for(int j=i*i;j<100001;j+=i){
			mark[j]=true;
		}
	}
}//素数筛法模板函数 
int main(){
	init();
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		int ansPrime[30];//记录，结果的素因数
		int ansSize=0;//记录结果的个数
		int ansNum[30];//记录结果的幂次
		for(int i=0;i<primeSize;i++){//对于所有的素数，依次判断是否为因数
			if(n%prime[i]==0){
				ansPrime[ansSize]=prime[i];
				ansNum[ansSize]=0;//如果可以，进行相应的初始化准备工作
				while(n%prime[i]==0){
					ansNum[ansSize]++;
					n/=prime[i];
				}
				ansSize++;
				if(n==1)break;//当n变为1的时候说明素因数已经分解完毕了。
			}
		}
		if(n!=1){//若此时的n不为1，则一定存在一个大于100000的因数，并且这个因数一定为素因数
			ansPrime[ansSize]=n;
			ansNum[ansSize++]=1;
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<ansSize;i++){
			ans+=ansNum[i];
		}
		printf("%d\n",ans);
		
		
	}
	return 0;
}

难点：
对于这个，难点可能有三个：

1. 为什么只用100000以内的素因数
2. 为什么当n=1时，余下的那个数一定是一个素因数。
3. 为什么分解素因数要从小开始，难道答案就一定唯一吗？

答：

首先回答第三个问题，这个答案一定是唯一的，证明（个人理解）：

假设答案不唯一，则对于数 n 存在一个结果 : x1*x2*x3=y1*y2*y3，其中x与y不完全相同
因为每个数都是素数，并且是整数，只存在1和其本身为其因数。
假设x3与y不同，这时将x3除过去，如下 x1*x2=y1*y2*y3 / x3  此时x1*x2必为一个整数
那么右边也必然是一个整数，也就是说x3必然被约掉了，即y1*y2*y3这个因式中必然存在因子可以约掉x3，
但是他们都是素数，对于素数来说，只存在1和其本身为其因数，所以原则上他们数不能约分的。
所以这就与假设所矛盾，即上面这种结果根本就不存在，即答案必然唯一。

其次是第一个问题和第二个问题：

现在n可分解素因数，对于其素因数来说，如果存在大于sqrt(n)的因数，只能有一个，如果有俩，就大于n了。
所以我们只需要遍历小于sqrt(n)的素因数，剩下的那一个必然为大于sqrt(n)的，且必然为素因数。

第二题：