算法很美之数学问题

第六篇 算法很美之数学问题

题目1 : 博弈游戏·Nim游戏

描述

今天我们要认识一对新朋友，Alice与Bob。
Alice与Bob总是在进行各种各样的比试，今天他们在玩一个取石子的游戏。
在这个游戏中，Alice和Bob放置了N堆不同的石子，编号1…N，第i堆中有A[i]个石子。
每一次行动，Alice和Bob可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。
Alice和Bob轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。
假设每一轮游戏都是Alice先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都足够聪明，谁会获得胜利？

提示：Nim?!

对于这个游戏有一个非常神奇的结论：

对于一个局面，当且仅当A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0时，该局面为P局面。

输入

第1行：1个整数N。表示石子堆数。1≤N≤100
第2行：N个整数，第i个整数表示第i堆石子的个数A[i]，1≤A[i]≤10000
输出

第1行：1个字符串，若Alice能够获胜输出"Alice"，否则输出"Bob"
样例输入

3
3 2 1

样例输出

Bob

#include<stdio.h>
main()
{
	int n,a[10005],fl=0,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		fl^=a[i];
	}
	if(fl==0)printf("Bob");
	else printf("Alice");
	
	return 0;
} 

题目2 : 数论二·Eular质数筛法

描述

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？

小Hi：你自己有什么想法么？

小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

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小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。

小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为：

isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 … N
If isPrime[i] Then
primeCount = primeCount + 1
multiple = 2
While (i * multiple ≤ N)
isPrime[i * multiple] = false
multiple = multiple + 1
End While
End If
End For

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。

小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？

小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。

提示：Eular质数筛法
输入

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。
输出

第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数
样例输入

9

样例输出

4

Eular质数筛法的伪代码：

isPrime[] = true
primeList = []
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		primeList[ primeCount ] = i
	End If 
	For j = 1 .. primeCount
		If (i * primeList[j] > N) Then
			Break
		End If
		isPrime[ i * primeList[j] ] = false
		If (i % primeList[j] == 0) Then
			Break
		End If
	End If
End For

附本人AC代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char isPrime[1000001];
int primeList[78498];
int main(){
	int N, i, j, primeCount;
	scanf("%d", &N);
	memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
	primeCount = 0;
	for(i = 2; i <= N; i++){
		if(isPrime[i]){
		primeCount++;
		primeList[primeCount] = i;
		}
		for(j = 1; j <= primeCount && i*primeList[j] <= N; j++){
			isPrime[i*primeList[j]] = 0;
			if(i % primeList[j] == 0){
			break;
			}
		}
	}
			printf("%d\n", primeCount);
	       return 0;
}