数学问题-素数

定义：对于给定正数n,若对于任意在正整数a(0<a<n)，都有n%a成立，那么成为素数（质数）,否则成为和树
下面解决两个问题：
1.如何判断一个数为素数
2.如和尽快的生成1~n的素数表

• 如何判断一个数为素数
  按照定义即可判断一个数是否为素数
  方法一：对于给定正数n,若对于任意在正整数a(0<a<n)，都有n%a成立，那么成为素数（质数）
  代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
bool isprime(int n){
    if(n <= 1)
        return false;
    for(int i = 2; i < n;i++){
        if(n% i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

需要注意1既不是素数也不是合数。

此算法时间复杂度为O(n)，有没有什么方法可以让时间复杂度下将呢？

方法二：
由n%k == 0且n*(n/k) =n,这启发我们n/k 和k之间必定有一个大于等于sqrt(n/k)
所以我们只用判断2~sqrt(n/k)之间的数即可。

代码实现：

bool isprime(int n){
    if(n <= 1)
        return false;
    int sqr = (int)sqrt(1.0*n);                    //sqrt里面参数类型为浮点数，乘上1.0将其转化为浮点数
    for(int i = 2; i <= sqr;i++){
        if(n% i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

• 如和快速的获取1~n之间的素数
  方法一：
  对1~n之间的每个数都判断一下是否为素数,若为素数，则加进素数表。
  (对时间复杂度为10^5都没有什么问题）
  代码实现：

const int maxn = 101；
int prime[maxn];
bool p[maxn] ={0};
int num = 0;
void find_prime(){
         for(int i = 1; i < maxn;i++){
             if(isprime(i)){
             	prime[num++] = i;                                                       //将素数存入表中
             	p[i] = true;
             	}
        }
 }

方法二：埃氏晒法
算法思想：
从小到大枚举所有数，对于每一个素数，晒去他的所有倍数2，剩下的就为素数了。

代码实现：

const int  maxn = 101;
int prime[maxn], num = 0;
bool p[maxn] = {0};
void find_prime()
{
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(p[i] == false){
            prime[num++] = i;
            for(int j =i+ i; j < maxn; j+=i )
                p[j] = true;                     //筛除i的倍数
        }
    }
}