题目：巧用进制，天平称重
用天平称重时，我们希望用尽可能少的砝码组和出尽可能多的重量。如果有无限个砝码，但他们的重量分别是1,3,9,27,81，······等3的指数幂。神奇之处在于用他们的组和可以称出任意整数重量（砝码允许放在左右两个盘子中）。
本题目要求编程实现：对用户给定的重量，给出砝码组和方案，重量<100000.
例如：用户输如：5
程序输出： 9 -3-1
解题思路：
利用进制来解。
因为1，3， 9······都是3的幂，所以用3进制来解。
例如：
5转化为3进制为 1 ，2 答案为 9 -3 -1 对应三进制为 1 -1 -1 因为每个砝码只能用一次。所以将1， 2 进位 2 进位需要加1，所有进位在该为再减1，即 1 ，2 变为 2， -1 将2继续进位可变为： 1， -1 ，-1 此时对应的数正好可转为：1 * 3^2, -1 * 3^1 ,-1 * 3^0 即对应： 9 -3 -1 正好为答案。
java代码示例：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class 天平称重 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
//转成三进制
final String x = Integer.toString(n, 3);
//翻转后转为数组
char[] arr = new StringBuffer(x).reverse().toString().toCharArray();
// 用来存取处理之后的0， 1 -1
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
if(arr[i] == '2') {
list.add(0, -1);//-1插在开头
if(i == arr.length - 1) {
list.add(0, 1);
}else {
arr[i+1] += 1;
}
}else if(arr[i] == '3') {
list.add(0, 0);
//更高为进1
if(i == arr.length - 1) {
list.add(0, 1);
}else {
arr[i+1] += 1;
}
}else {
list.add(0, arr[i] - '0');
}
}
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(int i = 0; i < list.size(); i++) {
if(list.get(i) == 1) {
sb.append("+").append((int)Math.pow(3, list.size() - i - 1));
}
if(list.get(i) == -1) {
sb.append("-").append((int)Math.pow(3, list.size() - i - 1));
}
}
System.out.println(sb.substring(1));
}
}
程序运行结果：
5
9-3-1
题目：Nim游戏
一共有N堆石子，编号1-n ，第i堆中有a[i]个石子。每一次操作Alice和Bob可以从任意一堆石子中取出任意数量的石子，至少取一颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。
两人轮流行动，取光所有石子的一方获胜。Alice为先手。
给定a，假设两人都采取最优策略，谁会获胜。
扫描二维码关注公众号，回复： 5529596 查看本文章
解题思路：
利用二进制异或。
解题示例：
假设有三队 3 ， 4， 5 变为二进制位 3 0 1 1 4 1 0 0 异或 5 1 0 1 -------------------------- 0 1 0 每次当轮到自己时异或结果为0，对手采取最优策略则自己输。 如果轮到自己时，异或结果非0，则自己必胜。 每次拿取石子策略，留给对手的异或结果为0，则必胜
java代码示例：
public class Nim游戏 {
public static void main(String[] args) {
int[] A = {3, 4, 5};
boolean res = solve(A);
System.out.println(res);
int[] B = {7, 9, 8};
res = solve(B);
System.out.println(res);
}
public static boolean solve(int[] A) {
int res = 0;
for(int i = 0; i < A.length; i++) {
res ^= A[i];
}
return res != 0;
}
}
程序运行结果：
true
true
题目：识别Nim问题，Georgia and Bob
Georgia和Bob决定玩一个自己发明的游戏。他们在纸上画一排网格，从左到右给网格编号1、2、3、…，放置N个棋子或不同网格，如下图所示:
Georgia和Bob轮流移动棋子。每次玩家将选择一个棋子，并将其移动到左边，而不越过任何其他棋子或他的左边缘。掠夺者可以自由选择棋子移动的步数，约束条件是棋子必须移动至少一步，一个网格最多只能包含一个棋子。不会走一步棋的菜鸟输了这场比赛。
自从“女士优先”以来，Georgia总是第一个上场。假设Georgia和Bob都在游戏中表现最好，即如果他们中的一个人知道赢得比赛的方法，他或她就能实现它。即使是n个棋子的初始位置，你能预测出最终谁会赢吗
输入：
输入的第一行包含单个整数T (1 <= T <= 20)，即测试用例的数量。然后T个例子。每个测试用例包含两行。第一行包含一个整数N (1 <=N <= 1000)，表示棋子的数量。第二行包含N个不同的整数P1 P2。。Pn (1 <= Pi <= 10000)，是n个棋子的初始位置。
输出：
输出对于每个测试用例，打印一行“Georgia will win”，如果Georgia愿意参与游戏;“Bob will win”，如果Bob会赢的话;否则“Not sure”
示例输入：
2 3 1 2 3 8 1 5 6 7 9 12 14 17示例输出：
Bob will win Georgia will win
解题思想：
首先要识别出这是一个Nim问题。
以两个一组作为一堆。
java代码示例：
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
/**
* 输入：
* 2
* 3
* 1 2 3
* 8
* 1 5 6 7 9 12 14 17
*输出：
* Bob will win
* Georgia will win
*/
public class 阶梯Nim问题 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int caseNum = sc.nextInt();
int[][] data = new int[caseNum][];
for(int i = 0; i < caseNum; i++) {
int k = sc.nextInt();
data[i] = new int[k];
for(int j = 0; j < k; j++) {
data[i][j] = sc.nextInt();
}
}
for(int i = 0; i < caseNum; i++) {
String res = deal(data[i]);
System.out.println(res);
}
}
private static String deal(int[] A) {
int len = A.length;
Arrays.sort(A);
int res = 0;
if((len & 1) == 1) { //奇数
for(int i = 0; i < len; i+=2) {
if(i == 0) {
res ^= (A[0]-1);
}else {
res ^= (A[i] - A[i-1] -1);
}
}
}else {
for(int i = 1; i < len; i+=2) {
res ^= (A[i] - A[i-1] -1);
}
}
if(res == 0) {
return "Bob will win";
}else {
return "Georgina will win";
}
}
}
程序运行结果：
2
3
1 2 3
8
1 5 6 7 9 12 14 17
Bob will win
Georgina will win
欧几里得算法
public class 欧几里得算法 {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(gcd(18, 12));
}
public static int gcd(int m, int n) {
return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
}
}