数学--数论--直角三角形--勾股数---奇偶数列法则 a^2+b^2=c^2

先说勾股数：

勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）

勾股数规律：

首先是奇数组口诀：平方后拆成连续两个数。

其次是偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数。

我们深挖一下口诀

定理： 如a^2+b2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；

1.直角三角形 $a^2+b^2=c^2$奇数列a法则：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是：
$a=2n+1 \\ b= n^2+（n+1）^2-1 \\ c= n^2+（n+1）^2$
证明：
$由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立。\\ 现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \\ （2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2$
$化简后得到： 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 即等式关系成立； \\ 由法则条件分别取n=1、2、3 … 时得到了： \\ 3^2+4^2=5^2 \\ 5^2+12^2=13^2 \\ 7^2+24^2=25^2 \\ 9^2+40^2=41^2 \\ 11^2+60^2=61^2 \\ 13^2+84^2=85^2\\ 故得到奇数列a法则成立$
2.直角三角形 $a^2+b^2=c^2$的偶数列a法则：
若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是：
$a= 2n \\ b= n^2 -1 \\ c= n^2+1$
证明：
$由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立.\\现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \\ (2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2 \\ 化简后得到： \\ n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1 \\ 即等式关系成立； \\ （这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…） \\ 由法则条件分别取n=2、3、4 … 时得到了： \\ 4^2+3^2=5^2 \\ 6^2+8^2=10^2 \\ 8^2+15^2=17^2 \\ 10^2+24^2=26^2 \\ 12^2+35^2=37^2 \\ 14^2+48^2=50^2 \\ 故得到偶数列a关系成立$