1.4 Padding
为了构建深度神经网络，你需要学会使用的一个基本的卷积操作就是padding，让我们来看看它是如何工作的。
我们在之前视频中看到，如果你用一个3×3的过滤器卷积一个6×6的图像，你最后会得到一个4×4的输出，也就是一个4×4矩阵。那是因为你的3×3过滤器在6×6矩阵中，只可能有4×4种可能的位置。这背后的数学解释是，如果我们有一个的图像，用的过滤器做卷积，那么输出的维度就是。在这个例子里是，因此得到了一个4×4的输出。
这样的话会有两个缺点，第一个缺点是每次做卷积操作，你的图像就会缩小，从6×6缩小到4×4，你可能做了几次之后，你的图像就会变得很小了，可能会缩小到只有1×1的大小。你可不想让你的图像在每次识别边缘或其他特征时都缩小，这就是第一个缺点。
第二个缺点时，如果你注意角落边缘的像素，这个像素点（绿色阴影标记）只被一个输出所触碰或者使用，因为它位于这个3×3的区域的一角。但如果是在中间的像素点，比如这个（红色方框标记），就会有许多3×3的区域与之重叠。所以那些在角落或者边缘区域的像素点在输出中采用较少，意味着你丢掉了图像边缘位置的许多信息。
为了解决这两个问题，一是输出缩小。当我们建立深度神经网络时，你就会知道你为什么不希望每进行一步操作图像都会缩小。比如当你有100层深层的网络，如果图像每经过一层都缩小的话，经过100层网络后，你就会得到一个很小的图像，所以这是个问题。另一个问题是图像边缘的大部分信息都丢失了。
为了解决这些问题，你可以在卷积操作之前填充这幅图像。在这个案例中，你可以沿着图像边缘再填充一层像素。如果你这样操作了，那么6×6的图像就被你填充成了一个8×8的图像。如果你用3×3的图像对这个8×8的图像卷积，你得到的输出就不是4×4的，而是6×6的图像，你就得到了一个尺寸和原始图像6×6的图像。习惯上，你可以用0去填充，如果是填充的数量，在这个案例中，，因为我们在周围都填充了一个像素点，输出也就变成了，所以就变成了，和输入的图像一样大。这个涂绿的像素点（左边矩阵）影响了输出中的这些格子（右边矩阵）。这样一来，丢失信息或者更准确来说角落或图像边缘的信息发挥的作用较小的这一缺点就被削弱了。
刚才我已经展示过用一个像素点来填充边缘，如果你想的话，也可以填充两个像素点，也就是说在这里填充一层。实际上你还可以填充更多像素。我这里画的这种情况，填充后。
至于选择填充多少像素，通常有两个选择，分别叫做Valid卷积和Same卷积。
Valid卷积意味着不填充，这样的话，如果你有一个的图像，用一个的过滤器卷积，它将会给你一个维的输出。这类似于我们在前面的视频中展示的例子，有一个6×6的图像，通过一个3×3的过滤器，得到一个4×4的输出。
另一个经常被用到的填充方法叫做Same卷积，那意味你填充后，你的输出大小和输入大小是一样的。根据这个公式，当你填充个像素点，就变成了，最后公式变为。因此如果你有一个的图像，用个像素填充边缘，输出的大小就是这样的。如果你想让的话，使得输出和输入大小相等，如果你用这个等式求解，那么。所以当是一个奇数的时候，只要选择相应的填充尺寸，你就能确保得到和输入相同尺寸的输出。这也是为什么前面的例子，当过滤器是3×3时，和上一张幻灯片的例子一样，使得输出尺寸等于输入尺寸，所需要的填充是(3-1)/2，也就是1个像素。另一个例子，当你的过滤器是5×5，如果，然后代入那个式子，你就会发现需要2层填充使得输出和输入一样大，这是过滤器5×5的情况。
习惯上，计算机视觉中，通常是奇数，甚至可能都是这样。你很少看到一个偶数的过滤器在计算机视觉里使用，我认为有两个原因。
其中一个可能是，如果是一个偶数，那么你只能使用一些不对称填充。只有是奇数的情况下，Same卷积才会有自然的填充，我们可以以同样的数量填充四周，而不是左边填充多一点，右边填充少一点，这样不对称的填充。
第二个原因是当你有一个奇数维过滤器，比如3×3或者5×5的，它就有一个中心点。有时在计算机视觉里，如果有一个中心像素点会更方便，便于指出过滤器的位置。
也许这些都不是为什么通常是奇数的充分原因，但如果你看了卷积的文献，你经常会看到3×3的过滤器，你也可能会看到一些5×5，7×7的过滤器。后面我们也会谈到1×1的过滤器，以及什么时候它是有意义的。但是习惯上，我推荐你只使用奇数的过滤器。我想如果你使用偶数f也可能会得到不错的表现，如果遵循计算机视觉的惯例，我通常使用奇数值的。
你已经看到如何使用padding卷积，为了指定卷积操作中的padding，你可以指定的值。也可以使用Valid卷积，也就是。也可使用Same卷积填充像素，使你的输出和输入大小相同。以上就是padding，在接下来的视频中我们讨论如何在卷积中设置步长。
1.5 卷积步长（Strided convolutions）
卷积中的步幅是另一个构建卷积神经网络的基本操作，让我向你展示一个例子。
如果你想用3×3的过滤器卷积这个7×7的图像，和之前不同的是，我们把步幅设置成了2。你还和之前一样取左上方的3×3区域的元素的乘积，再加起来，最后结果为91。
只是之前我们移动蓝框的步长是1，现在移动的步长是2，我们让过滤器跳过2个步长，注意一下左上角，这个点移动到其后两格的点，跳过了一个位置。然后你还是将每个元素相乘并求和，你将会得到的结果是100。
现在我们继续，将蓝色框移动两个步长，你将会得到83的结果。当你移动到下一行的时候，你也是使用步长2而不是步长1，所以我们将蓝色框移动到这里：
注意到我们跳过了一个位置，得到69的结果，现在你继续移动两个步长，会得到91，127，最后一行分别是44，72，74。
所以在这个例子中，我们用3×3的矩阵卷积一个7×7的矩阵，得到一个3×3的输出。输入和输出的维度是由下面的公式决定的。如果你用一个的过滤器卷积一个的图像，你的padding为，步幅为，在这个例子中，你会得到一个输出，因为现在你不是一次移动一个步子，而是一次移动个步子，输出于是变为
在我们的这个例子里，，，，，，即3×3的输出。
现在只剩下最后的一个细节了，如果商不是一个整数怎么办？在这种情况下，我们向下取整。这是向下取整的符号，这也叫做对进行地板除(floor)，这意味着向下取整到最近的整数。这个原则实现的方式是，你只在蓝框完全包括在图像或填充完的图像内部时，才对它进行运算。如果有任意一个蓝框移动到了外面，那你就不要进行相乘操作，这是一个惯例。你的3×3的过滤器必须完全处于图像中或者填充之后的图像区域内才输出相应结果，这就是惯例。因此正确计算输出维度的方法是向下取整，以免不是整数。
总结一下维度情况，如果你有一个的矩阵或者的图像，与一个的矩阵卷积，或者说的过滤器。Padding是，步幅为没输出尺寸就是这样：
可以选择所有的数使结果是整数是挺不错的，尽管一些时候，你不必这样做，只要向下取整也就可以了。你也可以自己选择一些，，和的值来验证这个输出尺寸的公式是对的。
在讲下一部分之前，这里有一个关于互相关和卷积的技术性建议，这不会影响到你构建卷积神经网络的方式，但取决于你读的是数学教材还是信号处理教材，在不同的教材里符号可能不一致。如果你看的是一本典型的数学教科书，那么卷积的定义是做元素乘积求和，实际上还有一个步骤是你首先要做的，也就是在把这个6×6的矩阵和3×3的过滤器卷积之前，首先你将3×3的过滤器沿水平和垂直轴翻转，所以变为，这相当于将3×3的过滤器做了个镜像，在水平和垂直轴上（整理者注：此处应该是先顺时针旋转90得到，再水平翻转得到）。然后你再把这个翻转后的矩阵复制到这里（左边的图像矩阵），你要把这个翻转矩阵的元素相乘来计算输出的4×4矩阵左上角的元素，如图所示。然后取这9个数字，把它们平移一个位置，再平移一格，以此类推。
所以我们在这些视频中定义卷积运算时，我们跳过了这个镜像操作。从技术上讲，我们实际上做的，我们在前面视频中使用的操作，有时被称为互相关（cross-correlation）而不是卷积（convolution）。但在深度学习文献中，按照惯例，我们将这（不进行翻转操作）叫做卷积操作。
总结来说，按照机器学习的惯例，我们通常不进行翻转操作。从技术上说，这个操作可能叫做互相关更好。但在大部分的深度学习文献中都把它叫做卷积运算，因此我们将在这些视频中使用这个约定。如果你读了很多机器学习文献的话，你会发现许多人都把它叫做卷积运算，不需要用到这些翻转。
事实证明在信号处理中或某些数学分支中，在卷积的定义包含翻转，使得卷积运算符拥有这个性质，即，这在数学中被称为结合律。这对于一些信号处理应用来说很好，但对于深度神经网络来说它真的不重要，因此省略了这个双重镜像操作，就简化了代码，并使神经网络也能正常工作。
根据惯例，我们大多数人都叫它卷积，尽管数学家们更喜欢称之为互相关，但这不会影响到你在编程练习中要实现的任何东西，也不会影响你阅读和理解深度学习文献。
现在你已经看到了如何进行卷积，以及如何使用填充，如何在卷积中选择步幅。但到目前为止，我们所使用的是关于矩阵的卷积，例如6×6的矩阵。在下一集视频中，你将看到如何对立体进行卷积，这将会使你的卷积变得更加强大，让我们继续下一个视频。
1.6 三维卷积（Convolutions over volumes）
你已经知道如何对二维图像做卷积了，现在看看如何执行卷积不仅仅在二维图像上，而是三维立体上。
我们从一个例子开始，假如说你不仅想检测灰度图像的特征，也想检测RGB彩色图像的特征。彩色图像如果是6×6×3，这里的3指的是三个颜色通道，你可以把它想象成三个6×6图像的堆叠。为了检测图像的边缘或者其他的特征，不是把它跟原来的3×3的过滤器做卷积，而是跟一个三维的过滤器，它的维度是3×3×3，这样这个过滤器也有三层，对应红绿、蓝三个通道。
给这些起个名字（原图像），这里的第一个6代表图像高度，第二个6代表宽度，这个3代表通道的数目。同样你的过滤器也有一个高，宽和通道数，并且图像的通道数必须和过滤器的通道数匹配，所以这两个数（紫色方框标记的两个数）必须相等。下个幻灯片里，我们就会知道这个卷积操作是如何进行的了，这个的输出会是一个4×4的图像，注意是4×4×1，最后一个数不是3了。
我们研究下这背后的细节，首先先换一张好看的图片。这个是6×6×3的图像，这个是3×3×3的过滤器，最后一个数字通道数必须和过滤器中的通道数相匹配。为了简化这个3×3×3过滤器的图像，我们不把它画成3个矩阵的堆叠，而画成这样，一个三维的立方体。
为了计算这个卷积操作的输出，你要做的就是把这个3×3×3的过滤器先放到最左上角的位置，这个3×3×3的过滤器有27个数，27个参数就是3的立方。依次取这27个数，然后乘以相应的红绿蓝通道中的数字。先取红色通道的前9个数字，然后是绿色通道，然后再是蓝色通道，乘以左边黄色立方体覆盖的对应的27个数，然后把这些数都加起来，就得到了输出的第一个数字。
如果要计算下一个输出，你把这个立方体滑动一个单位，再与这27个数相乘，把它们都加起来，就得到了下一个输出，以此类推。
那么，这个能干什么呢？举个例子，这个过滤器是3×3×3的，如果你想检测图像红色通道的边缘，那么你可以将第一个过滤器设为，和之前一样，而绿色通道全为0，，蓝色也全为0。如果你把这三个堆叠在一起形成一个3×3×3的过滤器，那么这就是一个检测垂直边界的过滤器，但只对红色通道有用。
或者如果你不关心垂直边界在哪个颜色通道里，那么你可以用一个这样的过滤器，，，，所有三个通道都是这样。所以通过设置第二个过滤器参数，你就有了一个边界检测器，3×3×3的边界检测器，用来检测任意颜色通道里的边界。参数的选择不同，你就可以得到不同的特征检测器，所有的都是3×3×3的过滤器。
按照计算机视觉的惯例，当你的输入有特定的高宽和通道数时，你的过滤器可以有不同的高，不同的宽，但是必须一样的通道数。理论上，我们的过滤器只关注红色通道，或者只关注绿色或者蓝色通道也是可行的。
再注意一下这个卷积立方体，一个6×6×6的输入图像卷积上一个3×3×3的过滤器，得到一个4×4的二维输出。
现在你已经了解了如何对立方体卷积，还有最后一个概念，对建立卷积神经网络至关重要。就是，如果我们不仅仅想要检测垂直边缘怎么办？如果我们同时检测垂直边缘和水平边缘，还有45°倾斜的边缘，还有70°倾斜的边缘怎么做？换句话说，如果你想同时用多个过滤器怎么办？
这是我们上一张幻灯片的图片，我们让这个6×6×3的图像和这个3×3×3的过滤器卷积，得到4×4的输出。（第一个）这可能是一个垂直边界检测器或者是学习检测其他的特征。第二个过滤器可以用橘色来表示，它可以是一个水平边缘检测器。
所以和第一个过滤器卷积，可以得到第一个4×4的输出，然后卷积第二个过滤器，得到一个不同的4×4的输出。我们做完卷积，然后把这两个4×4的输出，取第一个把它放到前面，然后取第二个过滤器输出，我把它画在这，放到后面。所以把这两个输出堆叠在一起，这样你就都得到了一个4×4×2的输出立方体，你可以把这个立方体当成，重新画在这，就是一个这样的盒子，所以这就是一个4×4×2的输出立方体。它用6×6×3的图像，然后卷积上这两个不同的3×3的过滤器，得到两个4×4的输出，它们堆叠在一起，形成一个4×4×2的立方体，这里的2的来源于我们用了两个不同的过滤器。
我们总结一下维度，如果你有一个（通道数）的输入图像，在这个例子中就是6×6×3，这里的就是通道数目，然后卷积上一个，这个例子中是3×3×3，按照惯例，这个（前一个）和这个（后一个）必须数值相同。然后你就得到了（）（），这里其实就是下一层的通道数，它就是你用的过滤器的个数，在我们的例子中，那就是4×4×2。我写下这个假设时，用的步幅为1，并且没有padding。如果你用了不同的步幅或者padding，那么这个数值会变化，正如前面的视频演示的那样。
这个对立方体卷积的概念真的很有用，你现在可以用它的一小部分直接在三个通道的RGB图像上进行操作。更重要的是，你可以检测两个特征，比如垂直和水平边缘或者10个或者128个或者几百个不同的特征，并且输出的通道数会等于你要检测的特征数。
对于这里的符号，我一直用通道数（）来表示最后一个维度，在文献里大家也把它叫做3维立方体的深度。这两个术语，即通道或者深度，经常被用在文献中。但我觉得深度容易让人混淆，因为你通常也会说神经网络的深度。所以，在这些视频里我会用通道这个术语来表示过滤器的第三个维度的大小。
所以你已经知道怎么对立方体做卷积了，你已经准备好了实现卷积神经其中一层了，在下个视频里让我们看看是怎么做的。
