LeetCode：292 Nim游戏 （动态规划 / 脑筋急转弯:巴什博弈）

题目描述

你和你的朋友，两个人一起玩 Nim 游戏：桌子上有一堆石头，每次你们轮流拿掉 1 - 3 块石头。 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。你作为先手。

你们是聪明人，每一步都是最优解。 编写一个函数，来判断你是否可以在给定石头数量的情况下赢得游戏。

示例:
输入: 4
输出: false
解释: 如果堆中有 4 块石头，那么你永远不会赢得比赛；因为无论你拿走 1 块、2 块 还是 3 块石头，最后一块石头总是会被你的朋友拿走。

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/nim-game
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

思路 1 动态规划

（DP会超时）
这题一眼就是DP啊，每一次只能拿1，2，3个，每一次的结果与上一次有关

状态定义：

dp[i] 表示 先手，剩下i个石头，能否获胜

状态转移：

// 判断自己先手的情况下，有i块能否赢
// 问题变成对面先手，有i-1, i-2, i-3块 能否赢
// 如果三种拿法，有一种能够令对手不赢，自己就赢了
dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);

边界条件
一块，两块，三块的时候，先手可以直接取胜

dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;

代码
因为后台卡时间限制非常紧，即使O(n)复杂度的dp也会超时，下面会有O(1)常数复杂度的脑筋急转弯方法

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n)
    {
        vector<bool> dp(n+1);
        dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;
        for(int i=4; i<=n; i++)
            dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);
        return dp[n];
    }
};

思路 2 脑筋急转弯

这是一个【巴什博弈】问题，当 n%(m+1) != 0 时可以获胜

如果石头的数目是 4 的倍数，就无法取胜

扫描二维码关注公众号，回复： 9529208 查看本文章

证明：
已知 n=4 的情况无法取胜，因为无论你怎么拿，都拿不完

• 如果石头的数目 = 4的倍数，无论你拿多少块（你拿了x块），对手拿 4-x 块，就可以使总数目 -4，最终石头的数目会减到4，你输掉
• 如果石头的数目 != 4的倍数，你可以拿 1 或 2 或 3 块石头，使得石堆数目变为4的倍数，然后到对面拿，回到情况1

代码

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n)
    {
        if(n%4==0)
            return false;
        return true;
    }
};