多重集排列组合问题

定义

多重集是指可以包含重复元素的广义集合。

排列问题

现在你有一个形如 $\{a_1\times b_1,a_2 \times b_2 , ...,a_k \times b_k\}$ 的多重集，其中 $x\times y$ 表示这个集合中有 $x$ 个 $y$，现在问这个集合有多少种不同的排列方式。

这是一道很基础的组合数学问题。

我们先考虑这些元素有多少种排列方式，显然为： $(\sum_{i=1}^k a_i)!$。

但是我们还要去除相同的排列，我们注意到，这里面有 $a_1$ 个 $b_1$，而这些 $b_1$ 之间交换位置是不会形成新的排列方式的，所以我们要除以 $a_1!$，也就是这些 $b_1$ 之间的全排列方案数。

那么最后的答案就是：
$\frac {(\sum_{i=1}^k a_i)} {a_1!a_2!...a_k!}$

组合问题

现在你有一个形如 $S=\{a_1\times b_1,a_2 \times b_2 , ...,a_k \times b_k\}$ 的多重集，现在要从中选出 $m$ 个数，问有多少种方案。

Part 1

先考虑 $m$ 满足 $m\leq a_i~(i \in [1,n])$ 时的情况。

那么此时相当于没有了 $a_i$ 的限制，我们设 $c_i$ 表示 $b_i$ 这个数选 $c_i$ 个，那么需要满足 $(\sum_{i=1}^n c_i)=m$ 且对于任意 $i$，有 $c_i\geq 0$。

那么现在问题等价于：有 $k$ 个按顺序摆好的不同的盘子，你要将 $m$ 个相同的苹果放到这 $k$ 个盘子里，问方案数。

那么这就是一个经典的组合数插板法问题了（不会请戳这里），方案数为 $C_{m+k-1}^{k-1}=C_{m+k-1}^m$。

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Part 2

在此基础上，我们再考虑 $m$ 没有特殊性质时的情况。

不妨先忽略 $a_i$ 的影响，那么根据 Part 1 可以知道，此时的方案数为：
$C_{m+k-1}^{m}$

但是我们还要减去不合法的方案，设 $f[i]$ 表示 $b_i$ 这个数拿了至少 $a_i+1$ 个的方案数。

考虑求 $f[i]$： $b_i$ 至少拿 $a_i+1$ 个的方案数，也就是先拿 $a_i+1$ 个 $b_i$，然后再从剩下的里面拿 $m-(a_i+1)$ 个的方案数，也就是
$f[i]=C_{m+k-1-(a_i+1)}^{m-(a_i+1)}=C_{m+k-1-(a_i+1)}^{k-1}$

那么答案就是：
$C_{m+k-1}^{m}-\sum_{i=1}^k f[i]$

还没完！ $f[i]$ 之间计算的方案数是有重复的，比如说：对于 $b_1$ 拿了 $a_1+1$ 个，同时 $b_2$ 拿了 $a_2+1$ 个，这样的不合法方案会被 $f[1]$ 和 $f[2]$ 各计算一次，所以我们还需要加上 $f[i] \cap f[j]~(i\in[1,n],j\in[1,n],i \neq j)$。

$f[i] \cap f[j]$ 的计算方法类似上面，即 $C_{m+k-1-(a_i+1)-(a_j+1)}^{k+1}$。

那么这样反复容斥下去，就能得到最终的答案：
$\begin{aligned} ans=&C_{m+k-1}^m-\sum_{i=1}^k C_{m+k-1-(a_i+1)}^{k-1} + \sum_{i\in[1,n],j\in[1,n],i \neq j} C_{m+k-1-(a_i+1)-(a_j+1)}^{k-1}\\ &+...+(-1)^k \sum_{p_1\in[1,n],p_2\in[1,n],\cdots,p1\neq p_2,p_1 \neq p_3 , \cdots} C_{m+k-1-\sum_{j=1}^k (p_j+1)}^{k-1} \end{aligned}$

应用

Devu and Flowers   题解