质数朴素筛法与埃氏筛法复杂度的证明

素数定理

函数 \(\pi(n)\) 表示 \(n\) 及 \(n\) 以内的质数个数

由质数定理得到，\(\pi(n)\)~\(Li(n)\)~\({n\over \ln (n)}\)

其中 \(Li(n)\) 是对数积分 \(\displaystyle Li(x)=\int_2^x{\text dt\over \ln t}\)

因此， \(n\) 以内的质数个数大概是 \({n\over \ln n}\) ，密度大概是 \({({n\over \ln n})\over n}={1\over \ln n}\)

还有人证出，第 \(i\) 个质数的大小大概是 \(i\ln i\)

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最小质因数的分布概率

考虑第 \(n\) 个质数 \(p_n\) ，以它为最小质因数的的正整数，分布的概率，大概为 \(\displaystyle P(fc=p_n)={1\over p_n}\prod_{i=1}^{n-1}(1-{1\over p_i})\)