算法与数据结构 二分查找

二分查找

例题1： 猜数字
A心里想一个1~1000的数字，让B才，B可以问A，A只能回到对或错。请问最少需要猜几次？

这题一种猜数字的方法是一个一个猜，猜1000次，显然这不是最优的方法。
B可以每次猜范围的中间值。即第一次猜500，A回答是否，如果答案是大于500，范围缩小到500~1000，B再猜750，如此循环。每次猜缩小到原来的一半，这样最多只需要猜10次。 这就是二分查找的思想。

例题2 找数字
给定一个长度为10的数组a，再给定一个数字p，在数组a中查找p，如果找到就返回数字小标，如果没有就返回-1. 要求复杂度为O(log(n))。
核心代码：

int search(int a[],int size,int p){
	int L =0;
	int R=size-1;
	while(L<=R){
		int mid=L+(R-L)/2;
		if(p==a[mid])
			return mid;
		else if(p>a[mid])
			L= mid+1;
		else
			R = mid + 1;
	}
	return -1;
}

每次在L~R的区间内查找，如果中点的数a[mid]比给定的数p大，则p在中点a[mid]的左边，否则在右边。

二分查找的前提是数组得从小到大排列，必须有序。

例题3：查找比p小的元素的最大小标
给定一个长度为10的数组a，再给定一个数字p，在数组a中查找比p小且下标最大的元素，如果找到就返回数字小标，如果没有就返回-1. 要求复杂度为O(log(n))。

核心代码：

int lowerSearch(int a[],int size, int p){
	int L =0;
	int R=size-1;
	int MaxLocation=-1;
	while(L<=R){
		int mid=L+(R-L)/2;
		if(a[mid]>=p) //如果中点元素 a[mid]大于p，说明p在中点的左边 
			R=mid-1;  //修改右边界值 
		else{  // 如果中点元素 a[mid]小于p，说明p在中点右边 
			MaxLocation = mid; //更新最大坐标 
			L=mid+1;  //修改左边界值 
		} 
	}
	return MaxLocation; 
}

例题4 用二分法求方程的根

求下列方程的一个根： x³ -5x² +10x -80 =0 ,需满足要求
|f(a)| <=10^-6

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double EPS = 1e-6;
double f(double x) {
	return x*x*x -5*x*x + 10*x -80;
}
int main() {
	double root,x1=0,x2=100,y;
	root = x1+(x2-x1)/2;
	y=f(root);
	while(abs(y) > EPS){
		if(y>0) x2 = root;
		else 	x1 = root;
		root = x1 + (x2-x1)/2;
		y=f(root); 
	}
	cout<<root;
	return 0;
}

并不是每一个方程都能求出根，前提是在求解区间能单调，且有解。

例题5 找一对数
输入n个整数，找出其中的两个数，它们之和等于整数m(假定肯定有解)。

#include <iostream>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100000];
int search(int size,int p){
	int L =0;
	int R=size-1;
	while(L<=R){
		int mid=L+(R-L)/2;
		if(p==a[mid])
			return mid;
		else if(p>a[mid])
			L= mid+1;
		else
			R = mid + 1;
	}
	return -1;
} 
int main() {
	
	int n,m;//输入n个整数,两数和为m 
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	sort(a,a+n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(search(n,m-a[i])!=-1){
			cout<<a[i]<<' '<<m-a[i]<<endl;
			break;
		}
	}
	return 0;
}