快速幂+快速幂取模

快速幂是优化的幂运算算法。
快速幂取模是快速幂+同余定理。

一、暴力幂运算

考虑计算 3¹¹，可以让3累乘11次，复杂度是O(n)

int Pow1(int a, int b) {
	int ans = 1;
	for (int i = 0; i < b; i++) ans *= a;
	return ans;
}

int main() {
	cout << Pow1(3, 11) << endl;
	return 0;
}

输出：

177147

二、快速幂

以 3¹¹ 举例。把指数11写成二进制形式是1011，所以
11 = 2³ + 0 × 2² + 2¹ + 2⁰

所以 3¹¹ 又可以写成：
3¹¹ =3^ (2³ + (0 × 2²) + 2¹ + 2⁰)

拆括号得：
3¹¹ = 3⁸ × (0 × 3⁴) × 3² × 3¹

可以发现乘法因子是以平方的形式增长的，比如 3² 等于 3¹ 的平方，3⁸ 等于 3⁴ 的平方。
由此规律，可以写出快速幂算法了。
我们先定义一个ans=1来保存答案，然后从低到高遍历指数b的每一个二进制位，同时我们让底数a随着循环每次做一个平方，a, a², a⁴, a⁸,…。
可以写出快速幂的框架：

int Pow(int a, int b) {
	int ans = 1;
	while (b) {
		...
		a *= a;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

因为11是1011，3¹¹ = 3⁸ × (0 × 3⁴) × 3² × 3¹，可以发现，当二进制位等于1时，ans要累乘一次a。因此完整代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int Pow(int a, int b) {
	int ans = 1;
	while (b) {
		//因为1的二进制是0000 0001，所以 b & 1 为真就意味着 b 的最低位是1。
		if (b & 1) ans *= a;
		a *= a;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main() {
	cout << Pow(3, 11) << endl;
	return 0;
}

以上就是快速幂算法的分析。

三、快速幂取模

快速幂取模可以用来解决 “114514^1919810 除以6的余数等于多少”或者是“2³⁰的后6位是多少”之类的问题。它是在快速幂的基础上，结合了同余定理。

#include <iostream>
using namespace std;

int Pow(int a, int b, int c) {
	int ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ans * a % c;
		a = a * a % c;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main() {
	cout << Pow(114514, 1919810, 6) << endl;
	cout << Pow(2, 30, 1000000) << endl;
	return 0;
}

输出：

4
741824