《统计学习方法》--核函数的学习：对字符串核函数的补充

  在《统计学习方法》第一版P123或第二版P141中提到：
  字符串核函数的映射 $\phi_n(s)$ 将字符串 $s$ 对应于希尔伯特空间的一个向量，其在子串 $u$ 维上的取值为： $[\phi_n(s)]_u=\sum_{i:s(i)=u}{\lambda^{l(i)}}$  这里， $0<\lambda\leq1$ 是一个衰减参数， $l(i)$ 表示字符串 $i$ 的长度，求和在 $s$ 中所有与 $u$ 相同的字串上进行。
  两个字符串 $s$ 和 $t$ 上的字符串核函数是基于映射 $\phi_n$ 的特征空间中的内积：
$\begin{aligned} k_n(s,t) & =\sum_{u\in\sum^n}{[\phi_n(s)]_u[\phi_n(t)]_u} \\ & =\sum_{u\in\sum^n}{\sum_{(i,j):s(i)=t(i)=u}{\lambda^{l(i)}\lambda^{l(j)}}} \\ \end{aligned}$  这里， $\sum^n$表示所有长度为 $n$的字符串的集合。
  其他博文中出现了以下这个例子：

  按上述公式，
$\begin{aligned} k(fog,fog) & =\sum_{u\in\sum^n}{[\phi_n(fog)]_u[\phi_n(fog)]_u} \\ & =\lambda^2\times\lambda^2+\lambda^3\times\lambda^3+\lambda^2\times\lambda^2 \\ & =2\lambda^4+\lambda^6 \end{aligned}$