【12】 二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

1. 二分查找概念

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。

2. 时间复杂度分析

1. 时间复杂度
   假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^{k)，…，这是一个等比数列。当n/(2}k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。
2. 认识O(logn)
   1）这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
   2）因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
   3）由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

3. 如何实现二分查找？

3.1. 循环实现

代码实现：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = low+(high-low)/2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

注意事项：
1）循环退出条件是：low <= high，而不是low < high。
2）mid的取值，使用mid = low+(high-low)/2，而不用mid = (low + high) / 2;，因为如果low和high比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即low+((high-low)>>1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3）low和high的更新：low = mid - 1，high = mid + 1，若直接写成low = mid，high = mid，就可能会发生死循环。

3.2. 递归实现

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid = low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

4. 使用条件（应用场景的局限性）

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2. 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4. 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

5. 思考

1. 如何在1000万个整数中快速查找某个整数，假如一个整数占8个字节，内存为100M？
   1）1000万个整数占用存储空间为80MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
   2）用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
   3）在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？

def sqrt_binary(num):
    """二分法求开方"""
    if num > 1:
        low = 1
        high = num
    else:
        low = num
        high = 1
    mid = float(low) + float((high - low) / 2)
    while abs(mid ** 2 - num) > 0.000001:
        if mid ** 2 < num:
            low = mid
        else:
            high = mid
        mid = (low + high) / 2
    return round(mid, 6)

if __name__ == '__main__':
    x = float(input())
    print(sqrt_binary(x))

3. 如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？
   答：假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
   第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
   第二次，需要移动指针n/4次；
   第三次需要移动指针n/8次；
   …
   以此类推，一直到1次为止
   总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.
   最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同，但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢。

6. 参考资料

1. 王争老师在极客时间的专栏《数据结构与算法之美》
2. 专栏下的所有评论

7. 声明

本文章是学习王争老师在极客时间专栏——《数据结构与算法之美》的学习总结，文章很多内容直接引用了专栏下的回复，推荐大家购买王争老师的专栏进行更加详细的学习。本文仅供学习使用，勿作他用，如侵犯权益，请联系我，立即删除。