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题目描述(斐波那契数列)
大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项。
n<=39
不知道斐波那契数列的同学可以看这里啦:
举个例子:
斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
可以看出 第一个数是1第二个数也是1,从第三个数开始就是前两个数的和
第四个是前两个数和的和 也就是2+3=5 ... 3+5 = 8;
了解了斐波那契数列,开始做题咯!
这种题有两种解法,一种是利用了递归思想,也就是不断重复前两个数的操作,去表达后面的数字,可能有些抽象,那么再举个栗子~
最直接能看出来的就是 第2位= 1+1 ,
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从而可以得出 第4位=2+1,那么第3位也可以化为1+1所以 第4位=(1+1)+1;
所以 第5位=第4位 +第3位 =((1+1)+1)+(1+1) = 5;
就是这个思路,为了我们下面看的方便 我们用f(n) 表示第n位斐波那契数;
先看递归代码
public int Fibonacci(int n) { if (n<=0){ return 0; } if(n == 1 || n ==2){ return 1; } return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2); }代码很简洁,但是这种代码有很大的缺陷,就是当数大的时候,时间复杂度太大,而空间复杂度为O(1);从时空角度来讲,这种解法并不是最优解,因为它不断地进行了重复的运算(化为1之后在做和),浪费了大量时间。
那我们可不可以把每一次的结果保存,之后在计算呢?,当然可以了,这就是我们的第二种思路,使用动态规划来进行求解,这样保证了时空的权衡。
把特殊值f(1)和f(2)进行保存,然后通过循环,依次把f(n)进行保存,这样在做f(n+1)操作时候,只要把f(n-1)+f(n)就可以了;
同样代码也很简洁,代码如下:
public int Fibonacci2(int n){ if(n<2){ return 1; } int num1 = 1; int num2 = 1; int tmp = 0; for (int i = 3; i <= n ; i++) { tmp = num1+num2;//记录f(n) num1 = num2; //准备下一次运算,保证每一次都是f(n) = f(n-1)+f(n-2); num2 = tmp; } return tmp; }
题目描述(跳台阶)
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
跳台阶的规律如下:f(1) = 1 ,
f(2) = 2 一次跳一下 x2 和一次跳两下,所以两种跳法
f(3) = 1x3 , (1x1)+(2x1) , (2x1) + (1x1) ,三种。
细心的小伙伴可以发现了,这就是斐波那契数列,只不过从f(2) = 2了
后面仍然是f(n) = f(n-1)+f(n-2);
所以思路仍然有两种,一种递归,一种动态规划,这里就不详解了,直接放代码:
递归:
public int JumpFloor(int target) { if(target<=0){ return 0; } if(target==1) return 1; if(target==2) return 2; return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2); }动态规划:
public int HenTaiJumpI(int n){ int num1 = 1; int num2 = 2; int tmp = 0; for (int i = 3; i <= n ; i++) { tmp = num1 + num2; num1 = num2; num2 = tmp; } return tmp; }
题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
f(1) 就只有一种,没毛病。
f(2) 1x2 + 2x1 两种
f(3) (1x3)+(2x1 + 1x1) + (1x1 + 2x1) +(3x1) 四种
得出结论 f(n) = f(n-1) * 2;
得出了结论,我们继续用两种思路来解这道题和上面的思路雷同,只不过判断条件变成了*2
递归:
public int JumpFloorII(int target) { if(target == 1){ return 1; } if(target <= 0){ return 0; } return 2*JumpFloorII(target-1); }
动态规划:
public int HenTaiJumpII(int n){ int num1 = 1; int tmp = 0; for (int i = 3; i <= n ; i++) { tmp = 2*num1; num1 = tmp; } return 2*tmp; }