向量组及其线性组合
1.定义 n个有次序的数
a1,a2,...,an所组成的数组,称n维向量。
2.定义 给定向量组
A:a1,a2,...,am对任何一组实数
k1,k2,...,km表达式
k1a1+k2a2+...+kmam称为向量组A的一个线性组合,
k1,k2,...,km称为这个线性组合的系数。若
b=k1a1+k2a2+...+kmam,称b能由向量组A线性表示。
由前面讨论知,
R(a1,...,am)=R(a1,...,am,b)
3.定义 设有向量组
A:a1,a2,...,am及
B:b1,b2,...,bl,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示,称这两个向量组等价。
向量组A,B等价则,R(A)=R(B)=R(A,B)
向量组的线性相关性
1.定义 给定向量组
A:a1,a2,...,am,如存在不全为0数
k1,k2,...,km使
k1a1+k2a2+...+kmam=0,则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关。
易知,
A:a1,a2,...,am线性相关时,R(A)<m。线性无关时,R(A)=m。
向量组的秩
1.定义 设有向量组A,如A中能选出
r个向量
a1,a2,...,ar满足
向量组
A0:a1,a2,...,ar线性无关
向量组A中任意
r+1个向量都线性相关
称,向量组
A0是向量组
A的一个最大线性无关向量组。最大无关组所含向量个数
r称为向量组A的秩。
线性方程组的解的结构
a11a21...am1x1+x1+x1+a12a22am2x2+...+x2+...+x2+...+a1nxn=a2nxn=amnxn=000
性质
1.
x1,x2分别是上述方程组的解,则
x=x1+x2也是方程组的解
2.
x1是上述方程组的解,则
kx1也是方程组的解
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。
3.设
m∗n矩阵
A的秩
R(A)=r,则n元齐次线性方程组
Ax=0的解集
S的秩
Rs=n−r
a11a21...am1x1+x1+x1+a12a22am2x2+...+x2+...+x2+...+a1nxn=a2nxn=amnxn=b1b2bm
上述方程组的通解 = 对应的非齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
向量空间
1.定义 设V为n维向量的集合,如集合V非空,且集合V对向量的加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为向量空间。
2.定义 设有向量空间
V1及
V2,若
V1⊆V2,称
V1是
V2的子空间
3.定义 设V为向量空间,如
r个向量
a1,a2,...,ar∈V,且满足
a1,a2,...,ar线性无关
V中任一向量都可由
a1,a2,...,ar线性表示
则,向量组
a1,a2,...,ar称为向量空间
V的一个基,
r称为向量空间
V的维数,称
V为
r维向量空间。
4.定义 如向量空间V中取一个基
a1,a2,...,ar,则
V中任一向量
x可唯一表示为
x=k1a1+k2a2+...+krar数组
k1,k2,...,kr称为向量
x在基
a1,a2,...,ar中的坐标。
在
R3中取定一个基
a1,a2,a3,再取一个新基
b1,b2,b3,设
A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),用A表示B的—基变换公式,向量在两个基中坐标间关系式—坐标变换公式。