本讲的主要内容:
- 向量的线性相关性
- 向量组生成空间
- 向量空间的基、维数
向量线性相关性(dependence)
概念:
对于一组向量
,如果存在一种组合使得
(其中
…
不全为0)则称这些向量是线性相关的。
那么,反之,如果上面的等式只有全零的解,则这些向量是线性无关的。
从上面的定义中,我们可以推导出几个结论:
- 如果向量组中有零向量,则向量组一定是线性相关的。(零向量前面系数是几都不会影响结果)
- 二维平面中任意的三个向量一定是线性相关的,同样,我们可以把这个结论推广到其他维的空间,例如,三维空间中任意的四个向量一定是线性相关的,这个结论使用方程组很好解释,以二维空间为例:三个向量写成矩阵形式也就是 $A(2*3) x = 0 $ 是否存在非零解,显然,之前的结论告诉我们一定是存在非零解的
生成空间(span a space)的概念
概念:
向量组
生成空间指:所有向量的线性组合构成的空间,这里与列空间的概念是一致的。
向量空间的基
基的概念是一组向量,只是对生成空间的这些向量有要求:
- 这些向量线性无关
- 能生成整个空间
那么如何检验一组向量是否是它们生成空间的一组基?
只要吧这些向量构成矩阵,看看是否矩阵可逆就可以了,也就是检查这个矩阵的秩是否等于n就可以了, 其实是检查是否存在自由变量,解释如下:
如果这些向量可以成为生成空间的一组基,则它们构成的矩阵有下式成立:
也就是
只能是零解,才满足线性无关的条件,根据之前几讲的内容,这个齐次方程组只有零解的条件就是没有自由变量,也就是
也就是可逆了。
除此之外还有一个结论:
对于一个向量空间,它的基有很多组,这些基有一个规律,就是所含的向量数目是一样的。
空间的维数(dimension)
最后的这一部分结合一个例子说:
对于这个矩阵:
结合之前的消元法,我们可以求得矩阵
的秩为2,那么矩阵
的列空间的维数(dimension)就是2,
接下来考虑对于
方程的零空间的维数是多少?,答案是自由变量的个数,即:
简记为:
以上~