MIT_线性代数笔记_09_线性无关性、基、维数

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 9: Independence, basis, and dimension
课程 9：线性无关性、基、维数

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线性无关

• 如果存在不全为零的常数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 使得 $c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n=0$，那么称向量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 线性相关，否则称为线性无关。

• 如果将 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 看作矩阵 $A$ 的 $n$ 个列向量，那么 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 线性无关当且仅当 $A$ 的零空间中只有零向量，也即是当且仅当 $\text{rank} A=n$；$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 线性相关当且仅当 $A$ 的零空间中有非零向量，也即是当且仅当 $\text{rank} A<n.$

向量生成的空间

• 如果一个空间由向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 的所有线性组合构成，那么称这个空间为 $v_1,v_2, \cdots, v_n$ 生成的空间，可记为 $\text{span} \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}.$

• 显然 $\text{span} \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}$ 是包含 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 的最小的线性空间，因为如果一个线性空间包含 $v_1, v_2,\cdots, v_n$，则必包含它们的线性组合。

基

• 如果线性空间 $V$ 中的向量 $v_1, v_2, \cdots, v_d$ 满足一下两个条件：

  • $v_1, v_2, \cdots, v_d$ 线性无关
  • $v_1, v_2, \cdots, v_d$ 生成 $V$

  那么称 $v_1, v_2, \cdots, v_d$ 是 $V$ 的一组基。

• 线性空间 $V$ 的任何一组基中所含向量的个数都相同。
• $n+1$ 个 $n$ 维向量必定线性相关。因为考虑以这 $n+1$ 个 $n$ 维向量为列向量的 $n \times (n+1)$ 维矩阵 $A$，则 $Ax=0$ 一定有非零解（未知数个数多余方程个数，必有自由变量）。

维数

• 线性空间的基中所含向量的个数称为这个线性空间的维数
• $\text{rank} A=$ 主列（主元所在的列）的个数 $=$ 列空间的维数
• 零空间的维数 $=$ 自由变量的个数

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