Rank and Nullity
矩阵的秩(Rank)和零化度(Nullity) (从线性方程组的角度)
Definition:
秩：最简行阶梯形的非零行数
零化度：n - Rank(A) (n是矩阵的列数)
下面从几个方面阐明这两个量与线性方程组的关系
Remark:
增广矩阵的reduced row echelon form\([\mathbf{R}~c]\)的非零行对应一个主元，而这些主元都是1，则非零行对应一个相应行元素为1的列向量，譬如第 i 行的主元就对应\(\vec e_i = [0,0,\cdots, 1(~i_{th}~entry), \cdots, 0, 0]^{T}\)，即
rank \(\Longleftrightarrow\)单位列向量数目
nullity \(\Longleftrightarrow\) 非主元所在的列数目 = n - rank(A)
另一方面，非零行对应一个基础变量，所以又可以说rank = number of basic variables，这样来说的话，可以得出
rank \(\Longleftrightarrow\)单位列向量数目\(\Longleftrightarrow\)解向量中basic variable数目
nullity \(\Longleftrightarrow\)非主元所在列的数目 \(\Longleftrightarrow\) 解向量中free variable数目
Property
对于线性方程组有解的情况
\(1^{o}~nullity = 0\)，即全部是基础变量，则方程有唯一解(unique solution)
\(2^{o}~nullity > 0\), 存在自由变量，则方程有无数解(infinitely many solutions)
Theoroem 1.5
下面的几个条件是等价的
(1) 线性方程组是\(A\vec x = \vec b\) 是相合的( consistent )
(2) 常数向量\(\vec b\)是解向量\(\vec x\)各分量的线性组合
(3) 增广矩阵的的reduced row echelon form\([\mathbf{R}~c]\)最后的一行不存在\([0,0,\cdots, 0, d]\)(\(d \neq 0\))的形式
根据定义可知，(1)跟(2)是等价的
证明(1) \(\Longleftrightarrow\) (3)
先证(1) -> (3)
假设(3)不成立，则有这样形式的一行存在，我们可以得出
[[0, 0,\cdots, 0] [x_1, x_2, \cdots, x_n]^{T} = 0 x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_n = d \neq 0 ]
我们无法得出这样的解向量，所以方程组是不相合的(inconsistent)也就是说，与前提相矛盾，假设不成立，即(3)成立
再证(3) -> (1)
如果不存在我们可以通过回代的方法来求得\([\mathbf{R}~c]\)的解自然也就是\([\mathbf{A}~b]\)的解，即(1)成立