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开局宋老师镇楼，期末绝对不挂科。
一、第一章：行列式(det)
1.二阶行列式
二阶行列式的值=主对角线相乘-辅对角线相乘。
2.三阶行列式
三阶行列式行标取标准排列，列标取排列的所有可能。从不同行不同列取出三个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定。
3.n阶行列式
3.1 排列和逆序
排列定义：由1，2，3，* * * ，n组成的一个有序数组，叫做n级排列。(中间不能缺数)
逆序：逆序指大数排在小数的前面，逆序的总数叫做逆序数，逆序个数为奇数叫做奇排列，逆序个数为偶数叫做偶排列。如N(4213)=3+1=4，为偶排列。
N(1，2,3****n)=0叫做n级标准排列(自然排列)。
例：
N(n，(n-1)***3，2，1)=n-1+n-2+ * * * ，+2+1=n(n-1)/2
数逆序数时：从第一个开始，依次数后面有几个比他小的。
对换：一个排列经过一次对换，奇偶性改变一次。
比如N(5，4，1，2，3)=4+3+0=7，对完为N(5，4，2，1，3)=4+3+1=8
定理：n级排列中，奇排列和偶排列个数相等，各占一半(n!/2)。
3.2 n阶行列式
特例：|a11|=a11，即只有一个数的行列式等于本身，那么|-1|=-1(-1的行列式也是-1)。
(主对角线上的)上、下三角和对角行列式
(主对角线上的)上、下三角和对角行列式=主对角线元素相乘。
下面三种行列式都=主对角线元素相乘。
(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式
(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式=[(-1)n(n-1)/2 ] 主对角线元素相乘。
3.3 n阶行列式的三种定义
按行定义
- 行标取自然排列。
- 列标取排列的所有可能。
- 不同行不同列取出不同个元素相乘。
- 符号由列标排列的逆序数的奇偶性决定。
按列定义
- 列标取自然排列。
- 行标取排列的所有可能。
- 不同行不同列取出不同个元素相乘。
- 符号由行标排列的逆序数的奇偶性决定。
第三种定义
打乱顺序，从不同行不同列取出不同个元素相乘。
- 符号由列标和行标的逆序数相加决定。
4.行列式的7个性质
性质1：D^T^=D 行列式的值和它转置后的值相等。
转置：将原来的行变成列，
性质2:两行互换,行列式值变号。
性质3：行列式两行(列)相等，D=0。(性质2—>性质3)
性质4:某一行都乘以k,等于用k乘以D.
推论(常用):行列式某一行有公因子,可以提到符号的外面.
- 行列式所有元素均有公因子k，k外提n次。
性质5： (1)两行对应成比例，D=0
推论:
(2)某一行全为0,D=0
(3)两行相等,D=0
- 注意:由D=0并不能推出上述3个式子有一个成立。
性质6:行列式的某一行所有元素都是两项和,则该行列式可以表示为两个行列式相加。
是和的那一行分开,其余行保持不变.
☆性质7: 某一行(列)k加到另一行上去,值不变.(k可以为0)
- 解题时：先处理第一列，再处理第二列，再第三列。第一列处理完后，第一行不再参与后续运算，第二行处理完后，第二行不再参与后续运算。
一般都是最终化为上三角。用第一列第一个数消该列下面的数，用第二列第二个数消该列下面的数，用第三列第三个数消下面的数。
5行列式展开
5.1(代数)余子式
上图中的指数1+4表示3是第一行第四列。
按某行(列)展开定理：行列式=任意一行中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
一般选0多的行展开，展开后有降阶的效果：
5.2异乘变零定理
异乘变零定理：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0。
5.3克莱姆法则
使用范围：
- 克莱姆法则仅适用于方程个数=未知量个数的情况。
- 系数行列式D != 0
例：
第二章：矩阵(matrix)
解方程组时，根据实际需要，提出了行列式的计算规则。为什么要提出矩阵的概念呢？很多东西都可以用矩阵来表示
例：航班信息
1.矩阵定义
矩阵是由一些数，按行按列组成的数表。假设有m行n列，就称为m*n的矩阵。
| 比较 | 行列式 | 矩阵 |
|---|---|---|
| 本质 | 一个数 | 数表 |
| 符号 | | | |
（ ） |
| 形状 | 正方形 | 矩形 |
- 行矩阵：(1，1，1)
- 列矩阵：自行脑补。
- 实矩阵：所有数字都是实数。
- 复矩阵：所有数字都是复数。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。(两个零矩阵不一定相等)
- 负矩阵：所有元素都是负数。
- 单位阵E：主对角线都是1，其他元素均为0。(如E3代表三阶单位阵)
- 同型矩阵:行数和列数相等。(矩阵相等的前提是同型矩阵)
2.矩阵运算
2.1矩阵加减法
加法前提：只有同型矩阵才能相加。
减法前提：只有同型矩阵才能减。
2.2矩阵乘法
数乘
用一个数去乘一个矩阵=这个数乘矩阵的所有元素。
提公因子
行列式：一行提一次，若所有元素都有公因子，向外提n次。
矩阵：矩阵所有元素均有公因子，向外提一次。
- ☆矩阵相乘的前提：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。
- ☆结果矩阵的行数：第一个矩阵的行数。
- ☆结果矩阵的列数：第二个矩阵的列数。
概括为：中间相等取两头。
例：矩阵乘法计算
结果矩阵分别对象下表：
| 矩阵A的第一行*矩阵B的第一列 | 矩阵A的第一行*矩阵B的第二列 | 矩阵A的第一行*矩阵B的第三列 |
|---|---|---|
| 矩阵A的第二行*矩阵B的第一列 | 矩阵A的第二行*矩阵B的第二列 | 矩阵A的第二行*矩阵B的第三列 |
矩阵乘法不满足的规律
- (1)AB有有意义，BA不一定有意义。
- (2)由AB=0，不能推出A=0或B=0
- (3)由AB=AC，A!=0，不能推出B=C。
矩阵乘法满足的规律
- 零矩阵0与任何矩阵A相乘=0。
- 单位阵E与任何矩阵A相乘=A。
- 乘法结合律：(AB)C = A(BC)
- 乘法分配律：(A + B)C =AC + AB
- k(AB)=(kA)B=A(kB)
上面的运算规律中：AB的左右顺序永远不能变。
例:求和矩阵A可交换的所有矩阵(可交换必为同阶矩阵)
例：方程与矩阵的线性替换
2.3矩阵幂运算
幂运算的前提是方阵。
-
幂运算
-
同底数幂相乘：底数不变，指数相互加。
-
A的0次幂=单位阵E
-
一般情况下
仅当A=B时相等。 -
一般情况下
-
下面的式子是成立的
