MIT_线性代数笔记_08_求解Ax=b：简化行阶梯形式R

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R
课程 8：求解 Ax=b：简化行阶梯形式 R

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这一讲的主要内容是求解 $Ax=b$ 并探讨解的情况

• 解存在的两个等价条件

  • $Ax =b$ 有解当且仅当 $b \in C(A)$，其中 $C(A)$ 是 $A$ 的列空间。也即是当且仅当 $b$ 是 $A$ 的列向量的线性组合。
  • $Ax=b$ 有解当且仅当 $A$ 的行的线性组合得到零行时，$b$ 的元素的同样线性组合结果为 $0.$

• 矩阵 $A$ 的秩定义为主元的个数，设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\text{rank}A = r.$

• 有解时解的情况

  • 当 $A$ 列满秩时，即 $r= n$，此时自由变量的个数为 $n-r =0$ 个，因此 $A$ 的零空间中只有零向量，故方程组有 $0$ 或 $1$ 个解。即若解存在，则必唯一。
  • 当 $A$ 行满秩时，即 $r =m$，则解一定存在，因为此时 $A$ 的简化阶梯形式 $R$ 中没有零行，故对于任意的 $b$，$Ax=b$ 都有解。由于自由变量的个数为 $n-r$，故当 $r=m =n$ 时，有唯一解，当 $r=m<n$ 时，有无穷多解。
  • 若 $r<m,r<n$，则方程组无解或有无穷多解。

• 综上可知，矩阵的秩决定了方程组 $Ax=b$ 解的数目

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）