学习视频来源:麻省理工公开课_线性代数导论 讲师:Gilbert Strang
http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html
Lecture 8 求解Ax=b:可解性和解的结构
已知矩阵
A=⎛⎝⎜⎜1232462682810⎞⎠⎟⎟
,解方程组
⎧⎩⎨⎪⎪x1+2x2+2x3+2x4=b12x1+4x4+6x3+8x4=b23x1+6x2+8x3+10x4=b3
。关键在于第三行是前两行之和。根据消元,右侧常数的关联立马可见:如果方程组有解,右侧常数需要满足
b1+b2=b3
。
让我们写成增广矩阵形式
(Ab)
并进行消元:
⎛⎝⎜⎜⎜1232462682810b1b2b3⎞⎠⎟⎟⎟
->
⎛⎝⎜⎜⎜100200222244b1b2−2b1b3−3b1⎞⎠⎟⎟⎟
->
⎛⎝⎜⎜⎜100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎞⎠⎟⎟⎟
得出方程有解的条件为
b3−b1−b2=0
,和我们之前的主观判断一致。这就是所谓的Solvability 可解性:
Ax=b
有解当且仅当
b
在
C(A)
中。<=> 如果
A
各行的线性组合会得到零行,那么右侧向量
b
中分量的同样组合也必须为零。
假设
b=⎛⎝⎜⎜156⎞⎠⎟⎟
,代入得:
(1020222413)
。现在我们的目标是求这个方程组的所有解。
step 1:求特定解(教授将
Ax=b
特解表示为particular solution,
Ax=0
基为special solution)。将所有自由变量
x2
和
x4
设为 0(自由变量可以任取),然后解出
Ax=b
的主变量
x1
和
x3
。
方程组变为
{x1+2x2=12x3=3
,解得
xparticular=⎛⎝⎜⎜⎜⎜−203/20⎞⎠⎟⎟⎟⎟
step 2:求零空间内的任何解
xnullspace=c1⎛⎝⎜⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟⎟+c2⎛⎝⎜⎜⎜⎜20−21⎞⎠⎟⎟⎟⎟
,也被称为基础解系,解法详见前文。
step 3:
xcomplete=xparticular+xnullspace
即为
Ax=b
的所有解。(
Axparticular=b
,
Axnullspace=0
,
Axparticular+Axnullspace=b
。对于方程组某解,其与零空间内任意向量之和仍为解。)图像上应该是一个由子空间从原点平移上来得到的平面。
推广到一般性的
m×n
,秩为
r
的矩阵
A
,始终有
,r≤m,r≤n
。矩阵的秩决定了方程组解的数目。
- full column rank 列满秩的情况(
r=n<m
):主变量有
n
个,自由变量有 0 个。零空间
N(A)
内只有一个零向量
0⃗
。而
Ax=b
的全部解(如果解存在),只有特定解
xparticular
。这种情况下
Ax=b
只有 0 或 1 个解。
- row column rank 行满秩的情况(
r=m<n
):主变量有
m
个,自由变量有
n−m
个。对任意
b
,
Ax=b
都有解。
- row column rank 方阵满秩的情况(
r=m=n
):可逆,自由变量有 0 个。零空间
N(A)
内只有一个零向量
0⃗
。而
Ax=b
的全部解,只有特定解
xparticular
。这种情况下
Ax=b
只有 1 个解。
- 都不满秩的情况(
r<m,r<n
):这种情况下
Ax=b
无解或者无穷解。