【学习计算机组成原理】补码的乘运算

如果看了 原码的乘运算，这篇更容易理解。

补码一位乘运算

假设：
[X]_补=x_n-1x_n-2……x₁x₀
[Y]_补=y_n-1y_n-2……y₁y₀

已知补码的性质： $X=-x_{n-1}\times2^{n-1}+x_{n-2}\times2^{n-2}+……+x_{1}\times2^{1}+x_{0}\times2^{0}$

令n=32则：
$Y=-y_{31}\times2^{31}+y_{30}\times2^{30}+……+y_{1}\times2^{1}+y_{0}\times2^{0}$
$Y=-y_{31}\times2^{31}+(y_{30}\times2^{31}-y_{30}\times2^{30})+……+(y_{1}\times2^{2}-y_{1}\times2^{1})+(y_{0}\times2^{1}-y_{0}\times2^{0})$
$Y=(y_{30}-y_{31})\times2^{31}+(y_{29}-y_{30})\times2^{30}+……+(y_{0}-y_{1})\times2^{1}+(y_{-1}-y_{0})\times2^{0}$
这里y_-1=0时等式成立
为了便于处理，我们对Y乘2^-32，这样小数点位于最前面。
$2^{-32}\times[X\times Y]_{补}=X\times(y_{30}-y_{31})\times2^{-1}+X\times(y_{29}-y_{30})\times2^{-2}+……+X\times(y_{-1}-y_{0})\times2^{-32}$
$2^{-32}\times[X\times Y]_{补}=2^{-1}\times(X\times(y_{30}-y_{31})+2^{-1}\times(X\times(y_{29}-y{30})+……+2^{-1}\times(X\times(y_{-1}-y_{0}))))$
我们可以看到等式中存在 $y_{31}$，表明补码的符号位也参加运算。
我们根据上面得到递推公式：
$P_{i+1}=2^{-1}\times(X\times(y_{i-1}-y_{i})+P_{i})$
$P_{0}=0$

yi-1	yi	操作
0	0	算术右移
0	1	减X后算术右移
1	0	加X后算术右移
1	1	算术右移

举例说明：
X=-3 Y=-2
[X]_补=1101
[Y]_补=1110
[X]_变补=0011（减X时用）

根据y_i-1和y_i两位来判断操作是什么，移位是算术移位，因为上面符号位始终都是0，所以每次都补0。
结果0000 0110表示+6，可以看出如果高四位全是0或1，则结果可以用4位数存放而不会溢出。
溢出判断：高四位不全为0或不全为1

补码两位乘运算

推导：
$(1)P_{i+1}=2^{-1}\times(X\times(y_{i-1}-y_{i})+P_{i})$
$(2)P_{i+2}=2^{-1}\times(X\times(y_{i}-y_{i+1})+P_{i+1})$
将(1)式代入(2)式得：
$P_{i+2}=2^{-1}\times(X\times(y_{i}-y_{i+1})+2^{-1}\times(X\times(y_{i-1}-y_{i})+P_{i}))$
$P_{i+2}=2^{-1}\times2^{-1}\times(X\times(2y_{i}-2y_{i+1})+X\times(y_{i-1}-y_{i})+P_{i})$
$P_{i+2}=2^{-2}\times(X\times(y_{i-1}+y_{i}-2y_{i+1})+P_{i})$

yi+1	yi	yi-1	操作	迭代公式
0	0	0	右移两位	$2^{-2}\times(0+P_{i})$
0	0	1	加X，右移两位	$2^{-2}\times(X+P_{i})$
0	1	0	加X，右移两位	$2^{-2}\times(X+P_{i})$
0	1	1	加2X，右移两位	$2^{-2}\times(2X+P_{i})$
1	0	0	减2X，右移两位	$2^{-2}\times(-2X+P_{i})$
1	0	1	减X，右移两位	$2^{-2}\times(-X+P_{i})$
1	1	0	减X，右移两位	$2^{-2}\times(-X+P_{i})$
1	1	1	右移两位	$2^{-2}\times(0+P_{i})$

• 因为存在加2X的情况，X需要左移1位，所以最高位需要加1位，用2位符号位。
• 加2X可以将X的补码左移1位之后再相加。
• 减2X可以将X的变补码左移1位之后再相加。

仍然用上面的例子：
X=-3 Y=-2
[X]_补=1101
[Y]_补=1110
[X]_变补=0011（减X时用）

根据y_i-1和y_i和y_i+1三位来判断操作是什么，移位是算术移位，因为上面符号位始终都是0，所以每次都补0。
可以看到，只循环了两次（n/2次）。效率更高。