本文内容摘录自《大规模MIMO传输理论与关键技术》与《MIMO-OFDM无线通信技术及MATLAB实现》
信道状态信息(CSI) 是一种笼统的概念，它包括信道矩阵。只要是反应Channel的都叫信道状态信息。信道矩阵只是MIMO系统中百的一种信道状态信息。其他的比如Channel profile，多径时延，多普勒频偏，MIMO信道的秩，波束形成向量等等，都属于信道状态信息。当前的信道矩阵H只能算是一种信道状态信息，但是是最常用的。
在大规模MIMO中，接收端的信道均衡和符号检测都需要精确的CSI。并且，只有在准确知道传播环境的情况下才可以实现空间的高分辨率。因此，准确的信道估计成为限制大规模MIMO系统性能的一个主要因素 。信道估计是指接收端根据一定的准则，从接收数据中将某个信道模型的模型参数估计出来的过程 。传统的基于导频的信道估计方法有最小二乘法（Least Square，LS）、MMSE、线性最小均方误差（Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE）法和极小方差无偏（Minimum Variance Unbiased，MVU）估计等，这些方法一般都包括矩阵求逆的过程。在大规模MIMO中，由于信号的维度较大，传统的信道估计方法计算复杂度过高，因此需要采用复杂度较低的信道估计方法。
在TDD模式下，上行通信和下行通信采用相同的频段，并假设上行信道和下行信道具有互易性。以一个小区为例，小区内的各个用户采用同步方式通过上行链路发送导频序列，小区内的基站接收这些导频序列并进行相应的处理得到上行信道的信道估计，然后再由下行链路传输信道信息与数据信息
[
1
]
^{[1]}
[ 1 ] 。
理论研究发现，当基站（Base Station，BS）的天线数无限增加时，热噪声和小区内其他用户干扰对信道估计和符号检测的影响均会消失，限制性能的唯一因素是在其他小区复用了期望小区的导频序列而引起的同频干扰，这一现象称为导频污染（Pilot Contamination，PC）
[
2
]
^{[2]}
[ 2 ] 。
当前用于大规模MIMO技术中的导频设计为
[
3
,
4
]
^{[3,4]}
[ 3 , 4 ]
由于FDD模式下进行信道估计需要占用较多的频谱资源，目前针对大规模MIMO的信道估计研究主要集中在TDD模式下。当天线数量无限增大时，导频污染问题成为制约系统性能的唯一因素。如何解决导频污染问题亦成为导频设计与信道估计的关键。
训练符号可以用于信道估计，通常能够提供较好的性能。然而，除了发射数据符号外， 还需要发射前导或导频信号，由此产生的负荷会降低传输效率.当可以获得训练符号时，最小二乘( LS )和线性最小均方误差(LMMSE) 技术被广泛应用于信道估计。
假设所有子载波是正交的，即没有ICl，那么可以将N 个子载波的训练符号表示成矩阵形式：
X
=
[
X
[
0
]
0
⋯
0
0
X
[
1
]
⋮
⋮
⋱
0
0
⋯
0
X
[
N
−
1
]
]
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc} X[0] & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X[1] & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & X[N-1] \end{array}\right]
X = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ X [ 0 ] 0 ⋮ 0 0 X [ 1 ] ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 ⋮ 0 X [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
其中
X
[
k
]
X[k]
X [ k ]
k
k
k
E
{
X
[
k
]
}
=
0
,
Var
{
X
[
k
]
}
=
σ
2
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
N
−
1
,
E\{X[k]\}=0,\operatorname{Var}\{X[k]\}=\sigma^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1,
E { X [ k ] } = 0 , V a r { X [ k ] } = σ 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ,
X
\mathbf X
X
k
k
k
H
[
k
]
H[k]
H [ k ]
Y
[
k
]
Y[k]
Y [ k ]
Y
≜
[
Y
[
0
]
Y
[
1
]
⋮
Y
[
N
−
1
]
]
=
[
X
[
0
]
0
⋯
0
0
X
[
1
]
⋮
⋮
⋱
0
0
⋯
0
X
[
N
−
1
]
]
[
H
[
0
]
H
[
1
]
⋮
H
[
N
−
1
]
]
+
[
Z
[
0
]
Z
[
1
]
⋮
Z
[
N
−
1
]
]
=
X
H
+
Z
\begin{array}{rl} \mathbf{Y} & \triangleq \left[\begin{array}{c} Y[0] \\ Y[1] \\ \vdots \\ Y[N-1] \end{array}\right] \\ \end{array}= \left[\begin{array}{cccc} X[0] & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X[1] & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & X[N-1] \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} H[0] \\ H[1] \\ \vdots \\ H[N-1] \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} Z[0] \\ Z[1] \\ \vdots \\ Z[N-1] \end{array}\right] =\mathbf{X} \mathbf{H}+\mathbf{Z}
Y ≜ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Y [ 0 ] Y [ 1 ] ⋮ Y [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ X [ 0 ] 0 ⋮ 0 0 X [ 1 ] ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 ⋮ 0 X [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ H [ 0 ] H [ 1 ] ⋮ H [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Z [ 0 ] Z [ 1 ] ⋮ Z [ N − 1 ] ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = X H + Z
其中，信道向量
H
=
[
H
[
0
]
,
H
[
1
]
,
⋯
,
H
[
N
−
1
]
]
T
\mathbf{H}=[H[0], H[1], \cdots, H[N-1]]^{T}
H = [ H [ 0 ] , H [ 1 ] , ⋯ , H [ N − 1 ] ] T
Z
=
[
Z
[
0
]
,
Z
[
1
]
,
⋯
Z
[
N
−
1
]
]
T
,
\mathbf{Z}=[{Z}[0], Z[1], \cdots Z[N-1]]^{T},
Z = [ Z [ 0 ] , Z [ 1 ] , ⋯ Z [ N − 1 ] ] T ,
E
{
Z
[
k
]
}
=
0
,
Var
{
Z
[
k
]
}
=
σ
z
2
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
N
−
1
E\{Z[k]\}=0, \operatorname{Var}\{Z[k]\}=\sigma_{z}^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1
E { Z [ k ] } = 0 , V a r { Z [ k ] } = σ z 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1
H
^
\hat{\mathbf H}
H ^
H
\mathbf {H}
H
假设所有子载波是正交的，即没有ICI。
ICI：多载波通信系统对载波频率偏移十分敏感，尤其对于多用户并行传输的无线通信上行链路，不同用户的发射信号具有不同的频率偏移，这种由多个独立频偏导致的子载波间干扰（Inter-Carrier Interference，ICI）问题较为严重，必须设计出高效的信号处理方法加以抑制。此外，在高速移动的无线信道下，由于多普勒扩展很大，信道将在一个多载波符号内产生时变，由此引起的 ICI 问题也将十分严重。
为了得到信道估计
H
^
\hat {\mathbf H}
H ^
J
(
H
^
)
=
∥
Y
−
X
H
^
∥
2
=
(
Y
−
X
H
^
)
H
(
Y
−
X
H
^
)
=
Y
H
Y
−
Y
H
X
H
^
−
H
^
H
X
H
Y
+
H
^
H
X
H
X
H
^
\begin{aligned} J(\hat{\mathbf{H}}) &=\|\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\|^{2} \\ &=(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}})^{{H}}(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}) \\ &=\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{Y}-\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}-\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}+\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}} \end{aligned}
J ( H ^ ) = ∥ Y − X H ^ ∥ 2 = ( Y − X H ^ ) H ( Y − X H ^ ) = Y H Y − Y H X H ^ − H ^ H X H Y + H ^ H X H X H ^
今上面的代价函数关于
H
^
\hat{\mathbf H}
H ^
∂
J
(
H
^
)
∂
H
^
=
−
2
(
X
H
Y
)
H
+
2
(
X
H
X
H
^
)
H
=
0
\frac{\partial J(\hat{\mathbf{H}})}{\partial \hat{\mathbf{H}}}=-2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}\right)^{H}+2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\right)^{H}=0
∂ H ^ ∂ J ( H ^ ) = − 2 ( X H Y ) H + 2 ( X H X H ^ ) H = 0
然后可以得到
X
H
X
H
^
=
X
H
Y
\mathbf X^H\mathbf X\hat{\mathbf H}=\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}
X H X H ^ = X H Y
H
^
L
S
=
(
X
H
X
)
−
1
X
H
Y
=
X
−
1
Y
\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}=\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}
H ^ L S = ( X H X ) − 1 X H Y = X − 1 Y
注意上式中，
X
−
1
\mathbf{X}^{-1}
X − 1
X
\mathbf{X}
X
令
H
^
L
S
[
k
]
\hat{H}_{{LS}}[k]
H ^ L S [ k ]
H
^
L
S
\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}
H ^ L S
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
N
−
1
k=0,1,2, \cdots, N-1
k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1
X
\mathbf X
X
H
^
L
S
[
k
]
=
Y
[
k
]
X
[
k
]
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
N
−
1
\hat{H}_{{LS}}[k]=\frac{Y[k]}{X[k]}, \quad k=0,1,2, \cdots, N-1
H ^ L S [ k ] = X [ k ] Y [ k ] , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1
LS 信道估计的均方误差(MSE) 为
MSE
L
S
=
E
{
(
H
−
H
^
L
S
)
H
(
H
−
H
L
S
)
}
=
E
{
(
H
−
X
−
1
Y
)
H
(
H
−
X
−
1
Y
)
}
=
E
{
(
X
−
1
Z
)
H
(
X
−
1
Z
)
}
=
E
{
Z
H
(
X
X
H
)
−
1
Z
}
=
σ
z
2
σ
x
2
\begin{aligned} \operatorname{MSE}_{{LS}} &=E\left\{\left(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{H}_{{LS}}\right)\right\} \\ &=E\left\{\left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)\right\} \\ &=E\left\{\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{H}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{Z}^{{H}}\left(\mathbf{X X}^{{H}}\right)^{-1} \mathbf{Z}\right\} \\ &=\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} \end{aligned}
M S E L S = E { ( H − H ^ L S ) H ( H − H L S ) } = E { ( H − X − 1 Y ) H ( H − X − 1 Y ) } = E { ( X − 1 Z ) H ( X − 1 Z ) } = E { Z H ( X X H ) − 1 Z } = σ x 2 σ z 2
注意，上式中的MSE 与信噪比
σ
x
2
/
σ
z
2
{\sigma_{x}^{2}}/{\sigma_{z}^{2}}
σ x 2 / σ z 2
考虑5.2.1中的LS 解，即
H
^
L
S
=
X
−
1
Y
≜
H
~
\hat{\mathbf H}_{{LS}}=\mathbf X^{-1} \mathbf Y \triangleq \tilde{\mathbf H}
H ^ L S = X − 1 Y ≜ H ~
W
\mathbf W
W
H
^
≜
W
H
~
\hat{\mathbf H} \triangleq \mathbf W \tilde{\mathbf H}
H ^ ≜ W H ~
H
^
\hat{\mathbf H}
H ^
J
(
H
^
)
=
E
{
∥
e
∥
2
}
=
E
{
∥
H
−
H
^
∥
2
}
J(\hat{\mathbf H})=E\left\{\|\mathbf e\|^{2}\right\}=E\left\{\|\mathbf H-\hat{\mathbf H}\|^{2}\right\}
J ( H ^ ) = E { ∥ e ∥ 2 } = E { ∥ H − H ^ ∥ 2 }
W
\mathbf W
W
e
=
H
−
H
^
\mathbf e=\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}
e = H − H ^
H
~
\tilde{\mathbf {H}}
H ~
E
{
e
H
~
H
}
=
E
{
(
H
−
H
^
)
H
~
H
}
=
E
{
(
H
−
W
H
~
)
H
~
H
}
=
E
{
H
H
~
H
}
−
W
E
{
H
~
H
~
H
}
=
R
H
H
~
−
W
R
H
~
H
~
=
0
\begin{aligned} E\left\{\mathbf e \tilde{\mathbf{H}}^{H}\right\} &=E\left\{(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{(\mathbf{H}-\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\}-\mathbf{W} E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf {R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}-\mathbf W \mathbf R_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}=\mathbf {0} \end{aligned}
E { e H ~ H } = E { ( H − H ^ ) H ~ H } = E { ( H − W H ~ ) H ~ H } = E { H H ~ H } − W E { H ~ H ~ H } = R H H ~ − W R H ~ H ~ = 0
其中，
R
A
B
\mathbf{R}_{A B}
R A B
A
\mathbf{A}
A
B
\mathbf{B}
B
R
A
B
=
E
{
A
B
H
}
\mathbf{R}_{\mathbf A \mathbf B}=E\left\{\mathbf A \mathbf{B}^{{H}}\right\}
R A B = E { A B H }
H
~
\tilde {\mathbf{H}}
H ~
H
~
=
X
−
1
Y
=
H
+
X
−
1
Z
\tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}=\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}
H ~ = X − 1 Y = H + X − 1 Z
于是可得，
W
=
R
H
H
~
R
H
~
H
~
−
1
\mathbf{W}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}}^{-1}
W = R H H ~ R H ~ H ~ − 1
其中，
R
H
~
H
~
\mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}}
R H ~ H ~
H
~
\tilde{\mathbf {H}}
H ~
R
H
~
H
~
=
E
{
H
~
H
~
H
}
=
E
{
X
−
1
Y
(
X
−
1
Y
)
H
}
=
E
{
(
H
+
X
−
1
Z
)
(
H
+
X
−
1
Z
)
H
}
=
E
{
H
H
H
+
X
−
1
Z
H
H
+
H
Z
H
(
X
−
1
)
H
+
X
−
1
Z
Z
H
(
X
−
1
)
H
}
=
E
{
H
H
H
}
+
E
{
X
−
1
Z
Z
H
(
X
−
1
)
H
}
=
E
{
H
H
H
}
+
σ
z
2
σ
x
2
I
\begin{aligned} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf H} \tilde{\mathbf H}} &=E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{H} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} \mathbf{I} \end{aligned}
R H ~ H ~ = E { H ~ H ~ H } = E { X − 1 Y ( X − 1 Y ) H } = E { ( H + X − 1 Z ) ( H + X − 1 Z ) H } = E { H H H + X − 1 Z H H + H Z H ( X − 1 ) H + X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + E { X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + σ x 2 σ z 2 I
R
H
H
~
\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}
R H H ~
H
^
L
M
M
S
E
=
W
H
~
=
R
H
H
~
R
H
~
H
~
−
1
H
~
=
R
H
H
~
(
R
H
H
+
σ
z
2
σ
x
2
I
)
−
1
H
~
\begin{aligned} &\hat{\mathbf{H}}_{LMMSE}=\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}^{-1} \tilde{\mathbf{H}}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}\left(\mathbf{R}_{\mathbf{H} {\mathbf{H}}}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} I\right)^{-1} \tilde{\mathbf H} \end{aligned}
H ^ L M M S E = W H ~ = R H H ~ R H ~ H ~ − 1 H ~ = R H H ~ ( R H H + σ x 2 σ z 2 I ) − 1 H ~
基于导频的信道估计算法如LS算法、MMSE算法、LMMSE算法和MVU算法等都包括矩阵求逆的过程。如果发射天线与接收天线均不存在相干性，则信道的协方差矩阵为对角矩阵，矩阵求逆的复杂度较低。然而，由于大规模MIMO天线数量大，天线之间的间隔距离难以满足半波长要求，加上复杂的电波传播环境，使得天线之间具有明显的相关性，因此信道的协方差矩阵不能近似为对角矩阵 。基于以上原因，大规模MIMO的信道估计中，矩阵求逆的计算复杂度非常大 ，因此传统的信道估计方法不能直接应用在大规模MIMO中，必须采用低复杂度的大规模MIMO信道估计方法。
[1] Ngo H Q, Larsson E G, Marzetta T L. Energy and spectral efficiency of very large multiuser MIMO systems[J]. Communications, IEEE Transactions on, 2013, 61(4): 1436-1449.
