【笔记整理】信号与系统复习——频谱和功率谱

频谱和功率谱

频谱

• 定义：频谱是信号在各频率分量上的幅度或相位
• 物理意义：反映的是在各个频率分量上的信号幅度或相位在频域分布的情况

功率谱

• 定义：功率谱是信号在各频率分量上的功率
• 物理意义：反映的是在各个频率分量上的信号功率在频域分布的情况

以下讨论几个问题：

为什么要进行频谱分析 or 频谱分析有什么意义？

$t \to \Omega$

• 将信号的时间变量转换为频率变量
• 揭示信号的频率特性
• 揭示新的的时域特性和频域特性之间的内在关系

频谱分析要满足什么条件？

• 分析的信号要是确知过程，不能是随机过程（原因后面会提到）
• 需要满足狄利赫里条件
  即，在一个周期内：
  • 若存在间断点，间断点的个数应为有限个。
  • 极大值和极小值的个数应为有限个
  • 满足能量信号条件，即
    • 对于离散信号，绝对可和
    • 对于模拟信号，绝对可积

随机过程为什么通过功率谱来分析，而不能通过频谱进行分析？

• 频谱是分析确知过程的，并且需要满足狄利赫里条件（具体条件上面有提到）
• 随机过程是若干个样本函数的集合，一个样本函数可以进行频谱分析，但是它的频谱并不能用来描述整个随机过程

如何得到一个信号的频谱？

• 对于非周期信号，通过傅里叶变换，可以得到信号的频谱
• 对于周期信号，通过傅里叶级数的系数，可以得到信号的频谱
• 周期信号的频谱，引入广义函数后，也就是通过序列冲激函数，可以求得傅里叶变换，得到的傅里叶变换是冲激形式的

此处注意一下傅里叶级数和傅里叶级数的系数的区别！

• 傅里叶级数：傅里叶级数是时域的表示
  $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn\Omega_0t}$
• 傅里叶级数系数：傅里叶级数的系数是频域的表示
  $X_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\Omega_0t}dt$

如何得到一个信号的功率谱？

对于周期信号，通过求傅里叶级数的系数平方，可以得到每个频率分量所对应的的信号的功率，画出线谱，可以得到功率谱。

为什么可以通过功率谱来求一个信号的功率？

不管是频域表示还是时域表示，都是表示的是同一个信号，因此所含的信息是完全相同的，只是表现形式不同。

$P=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(n\Omega_0)$

周期和非周期函数的频谱有什么不同？

• 周期函数频谱：用傅里叶级数的系数求得，具有离散型、谐波性
• 非周期函数频谱：用傅里叶变换求得，具有连续性
• 相同：周期函数频谱和非周期函数频谱都有非周期性和收敛性

周期函数的频谱和频谱密度的区别？

• 周期函数的频谱：周期函数的频谱是傅里叶级数的系数，是有限值，反映的是频谱
  $X_n=\frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\Omega_0t}dt$
• 周期函数的频谱密度：周期函数的频谱密度是傅里叶变换，周期函数的傅里叶变换需要引入序列冲激函数，其频谱密度表示是冲激形式的，不是有限值，反映的是频谱密度
  $X(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nT_s)\delta(\Omega-n\Omega_s)$

（如果对你有帮助，麻烦看官点个赞哦~，十分感谢）