小Q购物
一、题目描述
小Q去商场购物，经常会遇到找零的问题。
小Q现在手上有n种不同面值的硬币，每种面值的硬币都有无限多个。
为了方便购物，小Q希望带尽量少的硬币，并且要能组合出1到m之间（包含1和m）的所有面值。
输入格式
第一行包含两个整数m和n。
接下来n行，每行一个整数，第 i+1 行的整数表示第 i 种硬币的面值。
输出格式
输出一个整数，表示最少需要携带的硬币数量。
如果无解，则输出-1。
数据范围
1≤n≤100 1≤m≤10^9 1≤硬币面值≤10^9
输入样例：
20 4
1
2
5
10
输出样例：
5
二、题目分析
题意：给你n种硬币让你用最少的硬币凑出1到m之间的所有金额
-
这道题采用分段的思想：然后我们可以分段计算，先计算 凑出[1,a1-1]至少需要多少硬币，再计算[1,a2-1],.....算到[1,m] - 计算[1,ai-1]的时候，那么我们只能用前i-1种硬币来凑，为了使用硬币最少，使用a[i-1]这个面值的硬币来凑。
- 首先对给出的硬币金额进行排序，方便找更大金额的硬币
sort(a,a + n);
- 第二步判断最小的硬币金额是否大于1，如果大于1，那么直接返回-1。
if(a[0] != 1)
{
puts("-1");
}
- 第三步对给出的硬币进行筛选，把金额大于m的直接给pass 掉
while(a[n-1]>m)
n--;
- 第四步题意要求凑出金额为1到m，我们就把最后一个硬币的金额看作m + 1，原因在后面解释：
a[n] = m + 1;
-
接下来就开始凑：先给一个公式： （
k向上取整）。公式是用来求凑出金额a[i + 1] - 1所需金额为a[i ]的硬币个数k，sum代表已经凑出的金额范围。 -
公式解释：假设现在已经使用到硬币a[i]了，已经凑出的金额范围为sum = a[i] - 1，下一次目标是凑出金额为a[i + 1] - 1。现在可以使用的硬币金额为a[i - 1]、a[i]、a[i + 1]，不能使用a[i - 1]是因为他虽然可以凑出所需的金额，但是数量太多。a[i + 1]会存在因为面值太大而跳过某个面值的可能，所以使用a[i]。我们需要使用k个a[i]的金币加上已经凑出的金额范围sum大于等于目标金额a[i + 1] - 1，求去k，k就是最少的方案
-
为什么用a[i]来凑a[i + 1] - 1，不凑到a[i + 1]？因为凑到a[i + 1]了直接可以用a[i + 1]这个金额的硬币了（保证用最少的硬币） -
例：假设硬币金额为1 ，2，5，10 。m的值为25.
-
根据分析，硬币金额变为1，2，5，10，26.
-
开始凑,对于金额1，只能用一枚面值1的硬币。套用公式就是 （一开始已经凑出的金额范围sum等于0，还没开始凑嘛）求得k等于1（向上取整）.同时更新已经凑出的金额范围sum。sum += k * a[i] = 1。
-
对于金额2，既可以用面值为1的硬币也可以用面值为2的硬币，但是为了保证用最少的硬币，所以使用面值为2的硬币，因为它所凑出的面值范围为1到3。套用公式就是a[1] * k + sum >= a[2] - 1，sum等于1，求的k等于2（向上取整），同时更新sum，sum = 5
-
依次类推…
三、代码
#include<algorithm>
#include <iostream>
#include<cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
//分别代表硬币的数量和凑金额的范围m
int n,m;
//数组a，代表每个硬币的面值
int a[maxn];
int main()
{
cin>>m>>n;
for(int i = 0;i < n;i++)
{
cin>>a[i];
}
//排序
sort(a,a + n);
//过滤掉面值大于m的硬币
while(a[n - 1] > m)
n--;
//把范围m当作一种特殊的硬币
a[n]=m + 1;
if(a[0] != 1)
{
puts("-1");
}
else
{
//保存已经凑出的金额范围
int sum=0;
//保存所需硬币的个数
int ans=0;
//开始遍历每个硬币的面额，直到凑出m面值的硬币出来，注意⚠️最后一枚
//硬币的面值是m + 1，我们只需要凑出m即可，所以不会用到m + 1
for(int i=0;i<n;i++)
{
//根据公式求去所需硬币的个数k，向上取整
int k = (a[i + 1] - 1 - sum + a[i] - 1) / a[i];
//更新已经求的的面额范围sum
sum += k * a[i];
//跟新结果
ans += k;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
