笔记：宾大《Algebra, Topology, Differential Calculus, and Optimization Theory For CS and ML》——第三章第十节

下面是一些第三章的关键概念和结论：

向量空间的概念
向量的集合、簇
向量的线性组合；线性独立和线性相关
线性子空间
生成空间，有限生成子空间；子空间的基
任意线性独立的向量集合都可以扩展成一个基
置换引理
当且仅当一个向量集是在空间中最大的线性独立的向量集而且最小的生成集合，那么他就是空间的一组基
任意的两个可生成有限线性空间的基有相同的维度
超平面
每个向量在一组基上都有唯一的表示(根据它的坐标)
矩阵
列向量、行向量
矩阵计算：加法、标量乘法、矩阵乘法
线性映射的概念
$m \times n$ 的在区域 $K$ 上的矩阵对应的向量空间 $M_{m,n}(K)$ ， $n \times n$ 的在区域 $K$ 上的矩阵对应的空间 $M_{n}(K)$
线性映射的象 $Im f$
线性映射的核 $Ker f$
线性映射的秩 $rank(f)$
线性映射的象和核都是子空间，一个线性映射是单射，当且仅当其核为平凡空间(0)
商空间
线性映射 $Hom_K(E,F)$ 的向量空间
线性映射关于基的唯一同态扩展性质
线性形式以及对偶空间
坐标形式
在有限维中的对偶基的存在性