2020牛客暑期多校训练营第五场Portal

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原题请看这里

题目描述：

您现在在一家大工厂里。可以将工厂识别为具有 $N$个顶点和 $M$个边的图形。每个边缘都有其长度。您有 $k$个任务要做。第 $i$个任务将顶点 $a_i$，选择一个块，然后将其发送到顶点 $b_i$。您应该按照从 $1$号到k号的顺序完成任务。最初，您站在 $vectex 1$。
你手里拿着枪。当您处于某个顶点 $u$时，您可以向地面上射击，然后将在顶点 $u$建立一个门户。当工厂中有两个门户时，假设它们分别位于 $u$和 $v$处，则可以在 $u$和 $v$之间进行免费转换（就像连接长度为 $0$的 $u$和 $v$的边一样）。
您的手边还有一个遥控器。它使您可以随时随地关闭门户网站（一次关闭一个门户网站，而不是一次关闭所有门户网站）。而且，最多可以有两个现有门户。因此，如果要在存在两个门户网站时创建另一个门户网站，则必须先使用控制器将其关闭，然后再创建。
您需要找到必须步行的最小距离才能完成所有 $k$个任务。

输入描述：

第一行包含以空格分隔的三个正整数 $N$， $M$， $k$。
接下来的m行中，每个包含三个整数 $u_i$， $v_i$， $w_i$，表示连接顶点 $u_i$和 $v_i$的双向边，长度为 $w_i$。接下来的 $k$行中，每个行包含两个整数 $a_i$， $b_i$，指示第 $i$个任务的开始和结束。
$1$ $\leq$ $N$ $\leq$ $300$
$1$ $\leq$ $M$ $\leq$ $40000$
$1$ $\leq$ $k$ $\leq$ $300$
$1$ $\leq$ $u_i$， $v_i$ $\leq$ $n$
$0$ $\leq$ $w_i$ $\leq$ $10 ^ 9$
$1$ $\leq$ $a_j$， $b_j$ $\leq$ $n$
该图保证已连接。

输出描述：

输出一个整数，表示最小距离。

样例：

样例输入1：

5 4 2
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1
1 5
2 4

样例输出1：

5

说明：

Solution for sample 1: walk from 1 to 5, create portals at 2 and 4 when passing by. 
And then walk from 5 to 4, then you could use portals to complete the second mission.

样例输入2：

6 10 3
1 1 6
5 6 9
3 5 8
1 4 1
2 4 7
6 6 10
1 4 2
6 5 10
3 5 2
3 1 9
1 5
2 5
4 3

样例输出2：

28

样例输入3：

6 10 3
1 1 3
3 1 1
6 2 3
1 6 10
4 1 1
3 1 2
5 6 9
5 4 10
6 3 4
3 4 4
3 5
3 6
6 5

样例输出3：

16

思路：

题目大意：从点 $1$出发，你要按顺序完成 $k$个任务，每个任务有要求的起点和终点。途中你可以在所在的位置建立一个传送门，而同时只能用两个传送门存在，如果超过两个，则必须（远程）关闭任意一个传送门。
首先明确这道题用最短路和动态规划来做， $k$个任务都有起点终点，也就是说要走过 $2$k个点。 $dp$数组需要记录 $4$个状态：当前已经完成了 $i$个任务，当前在 $k$节点，传送门位置分别在 $x$， $y$，也就是 $dp[i][k][x][y]$------标准的暴力写法！
但是在途中你可以在你所在位置建立一个传送门，所以只需要记录远一点的那一个就行了，所以dp数组的维度就变成了三维： $dp[i][k][y]$
而题目说了输入的节点是按 $1$~ $N$顺序的,所以不用记录当前节点的位置，于是dp数组的维度就变成了二维： $dp[i][y]$
根据以上信息，我们可以写出状态转移的方程式：
$1.$从 $a_i$直接走到 $a_{i+1}$
$2.$枚举 $a_{i+1}$后放传送门的位置：从 $a_i$走到放传送门的位置，然后传送到另一个传送门，走到 $a_{i+1}$
$3.$直接传送到另一个传送门，在从另一个传送门走到放传送门的位置，再走到 $a_{i+1}$
（有点复杂）
所以我们只要在没有传送门的情况下先对所有点跑Floyd，再用动态规划求出最小距离

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a[1005]={1},fl[1005][1005],dp[1005][1005],w,n,m,k,u,v,ans=1e18;
int main()
{
	memset(fl,0x3f,sizeof(fl));
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][1]=0;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	k*=2;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		fl[i][i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		fl[u][v]=fl[v][u]=min(w,fl[u][v]);
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
		scanf("%lld",a+i);
	for(int l=1;l<=n;l++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				fl[i][j]=min(fl[i][l]+fl[l][j],fl[i][j]);//Floyd求最短路			
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+fl[a[i-1]][a[i]]);
			for(int l=1;l<=n;l++)
				dp[i][l]=min(dp[i][l],dp[i-1][j]+min(fl[a[i-1]][l]+fl[j][a[i]],fl[j][l]+fl[l][a[i]]));
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=min(ans,dp[k][i]);
	printf("%lld\n",ans);
}