Ancient Distance

题目描述：

作为 $Coffee Chicken$ 的成员， $ZYB$ 是一个具有出色数据结构技能的男孩。
请考虑以下问题：给出具有 ${N}$ 个顶点的根树。顶点的编号从 ${1}$ 到 ${N}$ ，并且根始终是顶点 ${1}$ 。您最多可以分配 ${K}$ 个关键顶点，以使所有顶点之间的最大“祖先距离”尽可能小。将顶点 ${x}$ 的“祖先距离”表示为： ${x}$ 与从 ${x}$ 到根的路径上的第一个关键顶点之间的距离。例如，如果树为 $1$ $-$ $2$ $-$ $3$ ，关键顶点集为 $\{$ 2 $\}$ ，则所有顶点的“祖先距离”为 $\{$ + $\infty$ ， $0$ , $1$ $\}$ $ZYB$ 然后加强了这个问题：请找到每个 $K$ $\in$ $\{$ $1$ , $2$ ， $\dots$ ， $N$ $\}$ 的答案。您可以接受 $ZYB$ 的挑战吗？

输入描述：

输入包含多个测试用例。
对于每个测试用例，第一行包含一个整数 $N$ $（$ $1$ $\le$ $N$ $\le$ $2$ $\times$ $10$ $^{_5}$ ），表示树中的顶点数。第二行中有 ${N-1}$ 个整数， ${i}$ 整数 $f_i$ $（$ $1$ $\le$ $f_i$ $\le$ $i$ $）$ 表示 $f_i$ 与 ${i + 1}$ 之间存在一条边。它保证最多有 ${N> 1000}$ 个测试用例，并且在所有测试用例中， ${N}$ 之和不会超过 $1.2$ $\times$ $10$ $^{_6}$

输出描述：

对于每个测试用例，输出 $k$ 分别为 $1$ , $2$ ,…, $n$ 时答案的和

样例输入：

样例输出：

3
2

思路：

二分答案 $+$ 线段树维护
~~这道题一看到求最大值最小就想到二分~~
每次贪心查找最远的点，向上k个点放关键点,然后删左子树（注：“删除”指打标记，因为之后的计算原树还要用）直到所有的点都被删除时改变二分上下界，最后得出答案。
做法：
按顺序枚举 $1$ ~ $k$ ，由于需要寻找最大值，所以用线段树维护整棵树的dfs序。
枚举k $\times$ 每次查找 $\times$ 调和级数 $\times$ 二分
总时间复杂度： $O$ $($ $N$ $log_n$ $log_n$ $log_n$ $)$

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e6+5;
int a[MAXN],dep[MAXN],d[MAXN],ans[MAXN],v[MAXN];
int n,cnt,maxn,maxm,mid;
vector<int> vec[MAXN];
void dfs(int x)
{
	d[++cnt]=x;
	for(int i=0;i<vec[x].size();i++)
	{
		dep[vec[x][i]]=dep[x]+1;
		dfs(vec[x][i]);
	}
}//dfs序
void build(int left,int right,int l,int r)
{
	if(left>right||l>r) return;
	if(l==r)
	{
		for(int i=left;i<=right;i++)
			ans[i]=l;
		return;
	}
	mid=(left+right)/2;
	ans[mid]=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		v[i]=dep[i];
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		if(v[d[i]]==dep[d[i]]+mid||d[i]==1)
		{
			ans[mid]++;
			v[d[i]]=-1;
		}
		v[a[d[i]]]=max(v[a[d[i]]],v[d[i]]);
	}
	build(left,mid-1,ans[mid],r);
	build(mid+1,right,l,ans[mid]);
}//二分+线段树
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		memset(dep,0,sizeof(dep));
		dep[1]=cnt=maxn=maxm=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			vec[i].clear();
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",a+i);
			vec[a[i]].push_back(i);
		}
		dfs(1);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			maxn=max(maxn,dep[i]);
		build(0,maxn,1,n);
		for(int i=1;i<=maxn;i++)
			maxm+=i*(ans[i-1]-ans[i]);
		printf("%d\n",maxm);
	}
}

2020牛客暑期多校训练营第四场Ancient Distance